מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | וקטורים | ישרים ומישורים במישור ובמרחב

פרק זה הוא קצר ולעניין, אנחנו נדון בתכונות המעניינות והשימושיות שיש לשלושה וקטורים (או יותר) שראשיתם בנקודה אחת וסופם על ישר ולאחר מכן נוכיח טענת מפתח שתעזור לנו בהוכחות וחישובים מאוחרים יותר.

[עריכה] שלושה וקטורים שסופם על ישר אחד

דוגמה לשלושה וקטורים במישור שמוצאם משותף (ראשית הצירים) וסופם על ישר.

יהיו הנקודות O,A,B וC שלושה נקודות (במישור, במרחב או במרחב n-ממדי כלשהו). ניקח את O להיות נקודת המוצא המשותפת של הוקטורים $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ ו $\vec{OC}$ שכולם מסתיימים על ישר אחד. כלומר, הנקודות A, B וC נמצאות על אותו ישר.

טענה 1 שלושה וקטורים שמוצאם בנקודה משותפת וסופם על ישר

התנאים למעלה מתקיימים, אם ורק אם, קיימים שני מספרים ממשיים s ו r ככה ש $\vec{OB}=s\vec{OA}+r\vec{OC}$ וגם s+r=1.

[עריכה] חלוקה למקרים

כעת אנחנו נבחן באמצעות s ו r שהופיעו בטענה למעלה, את מיקום הנקודה B ביחס לנקודות A ו C.

אם s>0 וגם r>0: הנקודה B נמצאת בין הנקודה C לנקודה A.
אם s>1 וגם r<0: הנקודה B נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה A.
אם s<0 וגם r>1: הנקודה B נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה C.

שינון הטענה והחלוקה למקרים יכול להועיל בשאלות ספציפיות שונות ולעיתים גם להועיל בהוכחות גיאומטריות. את ההוכחה של הטענה והמקרים השונים ניתן למצוא בסעיף למטה.

[עריכה] הוכחות

שקול לדלג על נושא זה

ההוכחות בחלק זה אינן נדרשות לבחינת הבגרות וחלקן מכילות טענות ונוסחאות שנלמד רק בפרקים הבאים. רצוי לקרוא את ההוכחות בחלק זה אחרי שמסיימים לקרוא את כל הספר כדי לקבל מבט מעמיק על הוכחות עם וקטורים.

טענה 1 וקטורים שמוצאם בנקודה אחת וסופם על ישר

הנקודה O נקודה כלשהי, הוקטורים $\vec{OA}$ , $\vec{OC}$ ו $\vec{OB}$ מסתיימים על ישר, אם ורק אם, קיימים מספרים ממשיים s ו r כך ש: $\vec{OB}=s\vec{OA}+r\vec{OC}$ וגם s+r=1.

הוכחה: נוכיח את הכיוון הראשון. הוקטור $\vec{OB}$ נמצא במישור שנפרש על ידי $\vec{OA}$ ו $\vec{OC}$ . לכן קיימים מספרים ממשיים r ו s עבורם מתקיים:

$\vec{OB}=s\vec{OA}+r\vec{OC}$

כמו כן, הנקודות A, B וC נמצאות על אותו ישר. לכן קיים מספר ממשי t עבורו מתקיים:

$\vec{AC}=t\vec{AB}$