מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

אחת התכונות של הווקטור הגיאומטרי היא שלוקטור הגיאומטרי אין מערכת צירים קבועה. בפרק זה אנחנו "נקבע" את מערכת הצירים של הווקטורים ונדון בהצגה של הוקטור בצורה אלגברית ובנוסף נפרט על הפעולות שניתן לעשות בשני וקטורים אלגבריים, חיבור וכפל בסקלר.

תוכן עניינים 1 רענון 1.1 מערכת צירים (קוארדינטות) במישור 1.2 מערכת צירים(קוארדינטות) במרחב 1.3 המושג של "מימד" 2 ההצגה האלגברית של וקטור 2.1 מעבר מהצגה גיאומטרית של וקטור להצגתו האלגברית 2.1.1 דוגמאות 2.1.2 פתרונות 3 השוואה בין שני וקטורים אלגבריים 4 חיבור וחיסור של וקטורים אלגבריים 4.1 חיבור וקטורים אלגבריים 4.2 חיסור של שני וקטורים 5 כפל של וקטור אלגברי בסקלר 5.1 הגדרה

[עריכה] רענון

לפני שמתחילים ללמוד את הפרק הזה יש לדעת מעט על ייצוג של נקודות במישור ובמרחב. אם הנושאים האלו כבר מוכרים לך, ניתן לעבור ישירות להצגה האלגברית של וקטור.

[עריכה] מערכת צירים (קוארדינטות) במישור

במערכת צירים סטנארדטית במישור (המכונה גם מערכת צירים קרטזית או קוארדינטות קרטזיות) יש לנו שני צירים המאונכים זה לזה הנקראים ציר הx וציר הy, כאשר ציר הx הוא הציר האופקי וציר הy הציר האנכי.

נקודת המפגש של שני הצירים נקראת "ראשית הצירים" (או בקיצור ה"ראשית") ובד"כ מסומנת באות O.

נהוג לסמן את ערכי הx החיוביים משמאל לראשית ואת השליליים מימין לראשית. כמו כן, ערכי הy החיוביים נמצאים מעל לראשית, והשליליים מתחת.

בצורה זו ניתן לרשום במערכת הצירים כל נקודה על המישור (כפי שניתן לראות בבירור בתמונה בצד שמאל).

כאשר רושמים נקודה במישור, נהוג לרשום אותה כזוג סדור כאשר שיעור הx של הנקודה הוא המספר הראשון והשמאלי ושיעור הy הוא המספר השני מצד ימין. שיעורי ראשית הצירים הם (0,0).

את המישור ניתן לחלק ל4 רביעים לפי מערכת הצירים, החלוקה מתחילה מצד ימין למעלה וממשיכה נגד כיוון השעון.

להלן פירוט על הרביעים השונים:

1. רביע I - הרביע הזה נמצא בצד ימין למעלה. ברביע זה הן ערכי הy והן ערכי הx הם חיוביים.
2. רביע II - הרביע הזה נמצא בצד שמאל למעלה, ערכי הx שליליים וערכי הy חיוביים.
3. רביע III - נמצא בצד שמאל למטה, ערכי הx והy הם שליליים.
4. רביע IV - נמצא בצד ימין למטה, ערכי הy שליליים וערכי הx חיוביים.

[עריכה] מערכת צירים(קוארדינטות) במרחב

כמו במישור גם במרחב יש צירים. במרחב, הצירים הסטנדרטיים הם ציר הx, ציר הy וציר הz. כל שלושת הצירים מאונכים זה לזה ורישום של נקודות במרחב דומה מאוד לרישום של נקודות במישור. כדי לתאר נקודות במרחב משתמשים בשלשה סדורה, כאשר שיעור הx של הנקודה הוא המספר הראשון השמאלי ביותר, ולאחריו שיעורי הy והz.

כמו את המישור, גם את המרחב ניתן לחלק למספר חלקים לפי הצירים. עיון באיור משמאל יגלה שמתקבלים 8 חלקים אותם נהוג לכנות אוקטנטים.

בנוסף על כך, נוצרים 3 מישורים שונים המכילים שניים מהצירים. נהוג לסמן את המישורים המסויימים האלה בעזרת סוגריים מרובעים. כך לדוגמה, כדי לסמן את המישור הנוצר מציר הx וציר הy רושמים כך: [xy].

כל המישורים הנוצרים מהצירים הם:

[עריכה] המושג של "מימד"

לכל אחד מאיתנו יש מושג של מהו בעצם "מימד". קל להבחין שהמישור הוא דו-מימדי בעוד המרחב הוא תלת-ממדי.

בהמשך, ניתן הסבר מדוייק יותר בנוגע למהות של המימד על ידי הגדרתו בצורה ריגורזית.

[עריכה] ההצגה האלגברית של וקטור

אנחנו מעוניינים כעת לקחת וקטור כלשהו, "לקבע" אותו למערכת צירים ולתת לו ייצוג בעזרת קוארדינטות. בשביל זה ניקח ווקטור כלשהו ונזיז אותו כך שמוצאו יהיה בראשית הצירים.

נעשה זאת בצורה כזו:

ראשית ניקח וקטור כלשהו במרחב (במישור הסימונים כמעט זהים, נעמוד על ההבדלים בהמשך) ונזיז אותו כך שמוצאו תהיה בראשית הצירים. כעת, נקודת הסוף של הוקטור נמצאת בנקודה כלשהי במרחב, נסמנה בA ונגדיר את הייצוג האלגברי של להיות שיעורי הנקודה A. (כפי שניתן לראות היטב באיור משמאל).

כעת, ניתן להציג כל וקטור במישור או במרחב כזוג או כשלשה סדורה (בהתאמה).

שימו לב, לוקטורים זהים תהיה הצגה אלגברית זהה!

לדוגמה כללית במישור, ניתן להסתכל על האיור למטה:

[עריכה] מעבר מהצגה גיאומטרית של וקטור להצגתו האלגברית

בהינתן שיעוריהן של שתי נקודות במרחב, A וB, אנו מעוניינים למצוא את ההצגה האלגברית של הוקטור AB.

השיטה היא כזו, על פי החוקים של חיסור שני וקטורים, נוכל לרשום:

כאשר O היא ראשית הצירים.

אבל, אם נסתכל היטב על ההגדרה של הצגה אלגברית של וקטור, נוכל לראות שכדי למצוא את הוקטור AB מספיק "לחסר" מכל שיעור של B את השיעור המתאים לו בA וליצור וקטור חדש, שהוא בעצם, ההצגה האלגברית של הוקטור AB.

[עריכה] דוגמאות

1. יהיו הנקודות:

מצא את הוקטור .

[עריכה] פתרונות

1. נשתמש בשיטה שהראינו מקודם ונחסר מכל שיעור של B את השיעור המתאים בA, ככה שמתקבל:

[עריכה] השוואה בין שני וקטורים אלגבריים

יהיו ו שני וקטורים (שימו לב שזוהי הצגה אלגברית שלהם).

אנחנו נאמר שהוקטורים ו שווים זה לזה, אם ורק אם:

1. a_x = b_x
2. a_y = b_y
3. a_z = b_z

כלומר, לוקטורים זהים יש הצגה אלגברית זהה וכל שני וקטורים עם הצגה אלגברית זהה (שיעורי הוקטור שווים זה לזה בהתאמה) הם שווים. כמו כן, ההגדרה נכונה גם במישור.

הערה חשובה! כשנלמד על אורך וזווית של וקטורים בהמשך, נוכל לראות שההגדרה הזו של שוויון בין שני וקטורים מתלכדת עם ההגדרה מהפרק על וקטורים גיאומטריים.

[עריכה] חיבור וחיסור של וקטורים אלגבריים

בעזרת הייצוג האלבגרי של הוקטורים, ניתן להגדיר חיבור וחיסור בין שני וקטורים אלגבריים כך שההגדרות יתלכדו עם הגדרת החיבור והחיסור של וקטורים גיאומטריים.

[עריכה] חיבור וקטורים אלגבריים

באופן כללי, יהיו הווקטורים ו וקטורים כלשהים במרחב (במישור ההגדרה זהה)'

אז וקטור החיבור שלהם יהיה:

[עריכה] חיסור של שני וקטורים

גם בחיסור ההגדרה שקולה לזו של וקטורים גיאומטריים, הוקטור יהיה:

[עריכה] כפל של וקטור אלגברי בסקלר

כמו בוקטורים גיאומטריים, ניתן להגדיר על וקטורים בהצגה אלגברית כפל בסקלר. צורת הסימון זהה לזו שבפרק על וקטורים גיאומטריים.

[עריכה] הגדרה

יהי וקטור ויהי t מספר ממשי כלשהו. נגדיר את המכפלה הסקלרית כך:

כלומר, כופלים כל אחת מהקוארדינטות של הוקטור במספר הממשי.

ההגדרה של הכפל בסקלר בוקטורים אלגבריים מתלכדת עם ההגדרה של כפל בסקלר של וקטורים גיאומטריים וכן עם חיבור איטרטיבי של אותו הוקטור מספר פעמים. בנוסף, כל ההערות שניתנו בפרק על כפל בסקלר של וקטור גיאומטרי, תקפות גם כאן.