מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה
מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.
| דף זה מועמד לאיחוד ערך זה דן בנושא של הדף [[: נוסחאות בגיאומטריה ונוסחאות בגאומטריה]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון) |
תוכן עניינים |
[עריכה] משולשים
[עריכה] משפטי חפיפה
שים לב: משפטי החפיפה נובעים כולם מחוק דמיון משולשים.
הגדרה: משולש חופף למשולש אחר כאשר כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.ז.צ)
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה ז.צ.ז.)
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.צ.ז)
- אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש צלעות המשולשים חופפים. (משפט חפיפה צ.צ.צ)
- במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
- במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.
[עריכה] דמיון משולשים (וחוקים הנובעים ממנו)
הגדרה: משולש דומה למשולש אחר כאשר כל זוויותיהם שוות בהתאמה וכאשר היחס בין הצלעות מול זווית שווה בשני המשולשים בהתאמה שווה ליחס בין הצלעות מול זווית שווה אחרת בשני המשולשים בהתאמה. (חוק הדמיון נובע ממשפט הקוסינוסים במשולש). כדי להוכיח דמיון משולשים די להוכיח כי:
- שתיים מזוויות המשולש זהות בהתאמה או כי היחס בין שני זוגות צלעות שווה בהתאמה.
- אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה ולהיפך.
- מול זוויות שוות במשולש עמודות צלעות שוות בהתאמה.
[עריכה] תכונות המשותפות לכל המשולשים
- סכום שתי צלעות במשולש גדול מצלע שלישית.
- כל צלע במשולש גדולה מההפרש בין שתי הצלעות האחרות.
- אם מנקודה מחוץ לישר יוצאים שני קטעים משופעים שווים אז גם היטליהם שווים וההיפך.
- אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
- סכום הזויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות.
- זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
- קטע המחבר בין אמצעי שתי צלעות במשולש, נקרא "קטע אמצעים במשולש", והוא מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
- ישר המקביל לצלע של משולש וחוצה צלע אחרת, בהכרח עובר גם דרך אמצע הצלע השלישית, כלומר, הוא קטע אמצעים.
- קטע אמצעים במשולש עובר בהכרח דרך אמצע כל קטע המחבר בין הקדקוד שמחבר את הצלעות שהוא חוצה לבין הצלע לה הוא מקביל, וחותך את שטח המשולש ביחס של 1:3.
[עריכה] משולש שווה צלעות
הגדרה: משולש שווה צלעות הוא משולש שכל שלושת צלעותיו שוות באורכן.
- כל הזוויות במשולש שווה צלעות שוות ל-60 מעלות.
- משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים וכל חוקיו חלים גם על משולש שווה צלעות, כאשר כל אחת מצלעות המשולש יכולה לשמש כבסיס.
- משולש ששתיים מזוויותיו שוות 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
- משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת שלו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.
[עריכה] משולש ישר זווית
הגדרה: משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל90 מעלות. הצלע מול הזווית בעלת 90 מעלות (הזווית הישרה) נקראת היתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.
- היחס בין הניצבים מול זווית מסויימת הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "טנגנס הזווית".
- היחס בין הניצב מול זווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "סינוס הזווית".
- היחס בין הניצב הצמוד לזווית מסויימת לבין היתר הוא קבוע לאותה זווית ונקרא "קוסינוס הזווית".
- במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו60 הניצב שמול ה30 שווה למחצית היתר. משולש זה ניקרא גם משולש זהב
- אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר אז הזווית שמול הניצב שווה 30.
- במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
- משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית. והצלע אותה הוא חוצה היא היתר.
[עריכה] קטע אמצעים במשולש
הגדרה: קטע אמצעים במשולש הוא קטע העובר בין אמצעי שתי צלעות במשולש.
- קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
- אם קטע במשולש חוצה צלע אחת ומקביל לצלע אחרת, הוא קטע אמצעים.
- אם נעביר קטע אמצעים במשולש, כל קטע שנעביר מהקדקוד של שתי הצלעות הנחצות לצלע השלישית יצור שני משולשים שחלקי קטע האמצעים במשולש הגדול יהוו קטע אמצעים בהם.
[עריכה] מרובעים
הגדרה: מרובע הוא מצולע סגור שיש לו ארבע צלעות וארבע זוויות הכלואות ביניהן.
הגדרה: אלכסון במרובע הוא קטע המחבר בין קדקוד אחד של המרובע לקדקוד שנגדי לו(קדקוד שאינו מחובר לו על ידי צלע).
- בכל מרובע סכום כל זוויות שווה תמיד ל 360 מעלות.
- אלכסון הוא קו המחבר בין שני קודקודים(מפגשי צלעות) שלא יושבים על אותה צלע (קודקודים נגדיים).
[עריכה] טרפז
הגדרה: בטרפז זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות, והן נקראות בסיסים. שתי הצלעות הנותרות, הלא מקבילות, נקראות שוקיים.
- סכום שתי זוויות הצמודות לאותה שוק תמיד שווה ל 180 מעלות.
- טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שזוג הצלעות הלא מקבילות שלו שוות זו לזו, וחלים עליו חוקים מיוחדים:
- האלכסונים שווים זה לזה וחותכים זה את זה.
- טרפז שווה שוקיים שזוג הצלעות המקבילות שלו שוות הוא מקבילית.
- טרפז שווה שוקיים שבו שתי השוקיים מאונכות לבסיסים הוא מלבן.
- טרפז שבו כל הקודקודים נמצאים על אותו מעגל הוא בהכרח שווה שוקיים.
[עריכה] קטע אמצעים בטרפז
הגדרה: קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי שתי השוקיים של הטרפז.
- קטע אמצעים בטרפז מקביל לשני הבסיסים.
- קטע אמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
[עריכה] מקבילית
הגדרה: מקבילית היא מרובע בו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות אחת לשניה.
- במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות.
- במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
- במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180.
- במקבילית כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו, ושוות זו לזו.
- מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
- מקבילית בה אחת הזוויות היא 90 מעלות, אזי כל זוויותיה 90 מעלות והיא מלבן.
[עריכה] מלבן
הגדרה: מלבן הוא מקבילית שאחת מזוויותיה שווה ל 90 מעלות.
- כל זוויות המלבן שוות ל 90 מעלות.
- במלבן האלכוסנים שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
- במלבן כל זוג צלעות נגדיות הן מקבילות זו לזו ושוות זו לזו.
- כל מלבן הוא גם מקבילית וחלים עליו כל חוקיה.
[עריכה] דלתון
הגדרה: דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, שאין להם צלעות משותפות.
- אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
- האלכסון המשני נחתך לשני חלקים שווים על ידי האלכסון הראשי.
- האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש (הזוויות בין זוג צלעות שוות).
- האלכסון הראשי בדלתון מחלק אותו לשני משולשים חופפים החולקים בסיס.
- האלכסון המשני בדלתון מחלק אותו לשני משולשים שווי שוקיים החולקים בסיס.
- שתי הזוויות שבין צלעות בעלות אורכים שונים, שוות.
- דלתון שכל צלעותיו שוות הוא מעויין.
[עריכה] מעוין
הגדרה: מעוין הוא דלתון שכל צלעותיו שוות.
- כל הצלעות במעויין שוות זו לזו.
- אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין וזה את זה.
- אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
- כל זוג זוויות נגדיות במעויין שוות.
- כל מעויין הוא גם מקבילית וחלים עליו כל חוקיה.
- מעויין ששתי זוויות צמודות בו שוות, או שזווית אחת מזוויותיו היא בת 90 מעלות, הוא ריבוע.
- מעוין בעל זוית בת 90 מעלות הוא ריבוע
[עריכה] ריבוע
הגדרה: הריבוע הוא "המרובע המושלם" וחלים עליו חוקייהם של כל המרובעים. הוא גם דלתון, גם טרפז, גם מקבילית, גם מעויין, וגם מלבן.
- אלכסוניו של הריבוע שווים זה לזה, מאונכים זה לזה, וחוצים זה את זה.
- כל צלעותיו של הריבוע שוות זו לזו.
- כל הזוויות בריבוע הן בנות 90 מעלות.
- כל זוג צלעות נגדיות בריבוע מקבילות זו לזו.
- אלכסוני הריבוע מחלקים אותו כל אחד לשני משולשים שווי שוקיים וישרי זווית, שווים בגודל וחולקי בסיס ששוקיהם הם צלעות הריבוע. יחד הם מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שוקיים וישרי זווית החולקים שוקיים, ובסיסיהם הם צלעות הריבוע.
[עריכה] מקבילים
הגדרה: מקבילים הינם שני ישרים שהמרחק ביניהם שווה לכל אורכם, וכי אנך לאחד תמיד אנך גם לשני וכל האנכים מסוג זה שווים זה לזה. לכן שני קווים מקבילים לעולם לא "נפגשים", כלומר אין ביניהם ולו נקודת חיתוך אחת.
- שני קווים שלא חולקים אף נקודת חיתוך הם תמיד מקבילים.
- שני ישרים מקבילים הם בעלי אותו שיפוע.
- שני ישרים מקבילים, הנחתכים ע"י ישר שלישי, יוצרים עימו "זוויות מתחלפות", כלומר הזווית בין הישר לאחד המקבילים, הנוצרת בתחום הין המקבילים שווה לזווית בין אותו ישר למקביל השני מעברו השני של אותו ישר, בתחום בין המקבילים. ישר זה נקרא "חותך מקבילים".
- זוויות צמודות ב"חותך מקבילים", כלומר הנמצאות על אותו צד שלו או הנמצאות על אותו מקביל סכומן 180.
- זווית הנוצרת בין "חותך מקבילים" למקביל א' מחוץ לתחום בין המקבילים שווה לזוויות בין אותו מקביל ל"חותך מקבילים" בתוך התחום בין המקבילים אשר בצד מנוגד לה. הן שניהן שוות לזווית בתחום בין המקבילים הנוצרת בין ה"חותך מקבילים" למקביל השני באותו צד כמו הזוויות מחוץ לתחום, ושלושתן שוות לזוויות הנוצרת בין "חותך המקבילים" לבין המקביל השני מחוץ לתחום באותו צד כמו הזווית בין ה"חותך מקבילים" למקביל הראשון בתוך התחום.
[עריכה] מעגל
הגדרה: המעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק מסויים ושווה מנקודה מסויימת, שנקראת "מרכז המעגל".
הגדרה: רדיוס הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.
הגדרה: מיתר הוא קטע המחבר בין נקודה אחת על המעגל לנקודה אחרת על המעגל.
הגדרה: קשת היא חלק מהמעגל הכלוא בין שתי נקודות על המעגל, המהוות קצות הקשת. בדרך כלל, הכוונה לקשת בין שתי נקודות היא לקשת הקטנה יותר הנוצרת בינהן, אלא אם כן מצויין אחרת.
הגדרה: זווית מרכזית היא זווית הנוצרת בין רדיוסים הנמתחים לשתי נקודות שונות במעגל.
הגדרה: זווית היקפית היא זווית הנמצאת על המעגל ונשענת על קשת במעגל.
הגדרה: קוטר הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל.
הגדרה: מרחק בין מיתר למרכז המעגל הוא אנך למיתר המגיע למרכז המעגל.
- במעגל כל הרדיוסים שווים.
- במעגל כל קוטר שווה לכפול גודל הרדיוס.
- במעגל כל הקטרים שווים.
- במעגל מיתרים שמרחקיהם ממרכז המעגל שווים שווים גם.
- במעגל: למיתרים שווים מרחק שווה ממרכז המעגל.
- ככל שמיתר קרוב יותר למרכז המעגל הוא גדול יותר, וקוטר הוא המיתר הגדול ביותר שיכול להווצר במעגל.
- אנך בין מרכז המעגל למיתר(מרחק) חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית של המיתר וחוצה את קשת המיתר. למשפט זה מספר משפטים הפוכים:
- קטע החוצה את הזווית המרכזית של המיתר הוא אנך למיתר.
- קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך לו.
- קטע ממרכז המעגל החוצה את הקשת של המיתר אנך לו.
- אנך ממרכז המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
- כל זווית היקפית במעגל שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
- כל זווית היקפית במעגל שווה לכל זווית היקפית אחרת במעגל הנשענת על אותה קשת.
- זווית הקיפית הנשענת על קוטר שווה ל90 מעלות.
[עריכה] משיקים למעגל
הגדרה: משיק למעגל הוא קטע הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד.
- משיק למעגל מאונך לרדיוס הנפגש איתו על המעגל.
- אם רדיוס מאונך לקטע על המעגל, הקטע משיק למעגל.
- שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם (מהנקודה המשותפת עד לנקודת ההשקה).
- קטע היוצא ממרכז המעגל לנקודת המפגש הנוצרת בין שני משיקים כלשהם, חוצה את הזווית.
- זווית בין משיק למיתר שווה לזווית הקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
- הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה של משיקים מקבילים הוא קוטר.
[עריכה] פרופורציות במעגל
- שני מיתרים הנחתכים במעגל מחלקים זה את זה לשני קטעים כך, שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעיו של השני.
- אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך האחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
- אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים חותך למעגל ומשיק למעגל מכפלת המשיק בעצמו שווה למכפלת חותך המעגל בחלקו החיצוני.
[עריכה] מעגל חוסם וחסום
[עריכה] מעגל חוסם משולש
הגדרה: מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר בכל אחד מקדקודי המשולש.
- ניתן לחסום כל משולש במעגל.
- מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של כל האנכים האמצעיים של המשולש.
- במשולש חד זווית: מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש.
- במשולש ישר זווית: מרכז המעגל נמצא על היתר והוא מרכזו .
- במשולש קהה זווית: מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.
- ניתן למצוא את מרכז המעגל ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת מפגש של שני אנכים אמצעיים בלבד.
[עריכה] מעגל חסום במשולש
הגדרה: מעגל חסום במשולש הוא מעגל שכל צלעות המשולש משיקות לו.
- ניתן לחסום מעגל בכל משולש.
- מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.
- ניתן להוכיח כי נקודה מסויימת היא מרכז המעגל החסום במשולש ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת המפגש של שני חוצי זווית בלבד.
[עריכה] מעגל חוסם מרובע
הגדרה: מעגל חוסם מרובע הוא מעגל העובר דרך כל הקדקודים של המרובע.
- בכדי שיהיה ניתן לחסום מרובע במעגל, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא: כל זוג זוויות נגדיות של המרובע חייב להשלים ל-180 מעלות (סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות).
- מספיק להוכיח כי זוג אחד של זוויות נגדיות במרובע משלים ל-180 מעלות בכדי להוכיח שניתן לחסום את המרובע במעגל.
[עריכה] מעגל חסום במרובע
הגדרה: מעגל חסום במרובע הוא מעגל שכל צלעות המרובע משיקות לו.
- בכדי שניתן יהיה לחסום מעגל במרובע, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא: סכום כל זוג צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום זוג הצלעות הנגדיות השני.
[עריכה] משפטים אחרים
- זוויות קודקודיות, שהן זוויות לא צמודות הנוצרות בין שני ישרים החותכים זה את זה תמיד שוות זו לזו.
- דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
- כל נקודה על אנך לקטע היוצא ממרכזו נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
- כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך היוצא ממרכזו.
- כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
- כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית.
- זוויות צמודות על אותו קו ישר שוות יחד ל180 מעלות.
- שני ישרים יכולים להיחתך אך ורק בנקודה אחת.
- דרך שתי נקודות יכול לעבור רק קו ישר אחד.
- אם שתי נקודות נמצאות על ישר ונקודה אחת נמצאת מחוץ לישר, אזי שום קו ישר אחד לא יכול לחבר את כל שלושת הנקודות.
- שוקייה של זווית בת 180 מעלות מצויות על אותו ישר.
