מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משיק למעגל

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | גיאומטריה אוקלידית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

להלן משפטים הקשורים במשיק למעגל.

תוכן עניינים

1 משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
2 ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל
3 שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
4 קטע העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך שני משיקים חוצה את הזווית שביניהם
5 הזווית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני

[עריכה] משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

נתונים - מעגל וישר l כלשהו שמשיק לו. (אפשר לשרטט לבד- ההוכחה לא דורשת בניות עזר מיוחדות).

הוכחה - נתבונן על סדרת המרחקים ממרכז המעגל לנקודה כלשהי על הישר. נתעלם לרגע מקיומו של המעגל ונתייחס למרכז המעגל כאל נקודה רגילה. אם כך, המרחק הקצר ביותר מאותה נקודה לישר הוא אורך האנך שיורד מהנקודה אל הישר. בגלל שהמשיק עובר דרך המעגל, גודלו של המרחק הזה הוא רדיוס המעגל- כלומר, קיבלנו שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. מש"ל.

[עריכה] ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל

נתונים -

1) AO רדיוס

2) A נקודת החיבור של הרדיוס עם הישר l.

3) l מאונך ל-AO.

הוכחה -

4) נניח בדרך השלילה: l אינו משיק למעגל.

5) l חותך את המעגל בנקודה נוספת B. (ישר החותך את המעגל ואינו משיק לו חותך אותו בשתי נקודות, לפי 2,4)

6) ב.ע. BO רדיוס לנקודת החיתוך הנוספת.

7) $\ BO=AO$ (כל הרדיוסים שווים במעגל, לפי 1,6)

8) $\!\, \angle OBA=\angle OAB=90$ (זווית הבסיס שוות במשולש שווה שוקיים, לפי 3,7)

9) קיבלנו סתירה (סכום הזווית במשולש ABO גדול מ-180, לפי 8).

[עריכה] שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה

נתונים -

1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O

הוכחה -

2) ב.ע. OB, OC רדיוסים לנקודות ההשקה.

3) ב.ע. OA ישר העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך המשיקים

4) $\!\, \angle OBA=\angle OCA=90$ (משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה)

5) $\!\, OA=OA$ (שוויון הינו רפלקסיבי - כל דבר שווה לעצמו)

6) $\!\, OB=OC$ (כל הרדיוסים שווים במעגל)

7) $\!\, \Delta OCA\cong\Delta OBA$ (מ1,3,4 משפט חפיפה רביעי - צ.צ.ז)

8) $\!\, AB=AC$ (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ7)

[עריכה] קטע העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך שני משיקים חוצה את הזווית שביניהם

נתונים -

1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O

הוכחה -

2) ב.ע. OB, OC רדיוסים לנקודות ההשקה.

3) $\!\, OA=OA$ (שוויון הינו רפלקסיבי - כל דבר שווה לעצמו)

4) $\!\, OB=OC$ (כל הרדיוסים שווים במעגל)

5) $\!\, AB=AC$ (כתוצאה מהמשפט הקודם)

6) $\!\, \Delta OCA\cong\Delta OBA$ (מ3,4,5 משפט חפיפה ראשון - צ.צ.צ)

7) $\!\, \angle OAB=\angle OAC$ (זוויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)

[עריכה] הזווית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני

נתונים - שרטט מעגל שמרכזו בנקודה O. שרטט מיתר כלשהו במעגל; נקרא לו AB . גם מנקודה A וגם מנקודה B - נמשוך משיקים; אלה ייפגשו בנקודה C . נשלים שרטוט של דלתון OACB. רצוי גם לחתוך אותו בקו OC. צריך להוכיח: זווית ABC שווה לזווית AOC (כי זווית AOB כפולה ממנה, וזווית היקפית הנשענת על AB היא, מצד אחד, שוה לזווית AOC, ומצד שני- ל-משלימה ל-180).

הוכחה - ההוכחה מתבססת על "זווית שבין רדיוס למשיק הינה זווית ישרה". יש לנו 2 זויות כאלה - למשל: OAC . אז אם זווית AOC היא X, אז זווית ACO היא "90 פחות X". ידוע לכל, כי המיתר AB מאונך ל-OC. כך שהזווית ABC גם היא שווה ל-X. המשלימה שלה, היא הזווית בין המשיק למיתר, היא "180 פחות X", וזו בדיות הזווית החיצונית למיתר AC מצידו השני...

[עריכה] שני מיתרים במעגל נחתכים כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר

נתונים - 1) AB וCD מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה E

הוכחה -

2) $\!\, \angle DBA=\angle DCA$ (שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו)

3) $\!\, \angle DEB=\angle AEC$ (זוויות קודקודיות שוות זו לזו)

4) $\!\, \Delta DEB~\Delta AEC$ (מ2,3 משפט דמיון שני ז.ז)

5) $\!\,DE*EC=EB*AE \iff \frac{DE}{AE}=\frac{EB}{EC}$ (צלעות מתאימות במשולשים דומים)

[עריכה] אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת חלקי החותכים (החיצוני והפנימי) שווה

נתונים - ab חותך למעגל בנקודה d , ac חותך למעגל בנקודה e. צ"ל: ad*ab=ae*ac

הוכחה - ב"ע: cb, de (מיתרים במעגל). נתבונן במשולשים: abc, ade. 1. זווית a משותפת לשני המשולשים. 2. זווית bce, וזווית bde, שוות ל180 מעלות (זויות נגדיות במרובע חסום במעגל). 3. זויות ade=bce. 4. משולשים abc, aed דומים (מ1 ו3). 5. יחס הדמיון: ab/ae=ac/ad. 6.נכפול בהצלבה ונקבל: ab*ad=ac*ae מש"ל.

[עריכה] אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק

נתונים - ab משיק למעגל בנקודה b. ac חותך את המעגל בנקודות c, d. צ"ל: ab*ab=ac*ad.

הוכחה - ב"ע: bc, bd מיתרים במעגל. נתבונן במשולשים abc, adb 1. זווית a משותפת לשני המשולשים. 2. זויות abd=c, (זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני). 3. משולשים abc, adb דומים (מ1 ו2). 4. יחס הדמיון: ab/ad=ac/ab 5. נכפול בהצלבה ונקבל: ab*ab=ac*ad מש"ל.

מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משיק למעגל

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

[עריכה] ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל

[עריכה] שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה

[עריכה] קטע העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך שני משיקים חוצה את הזווית שביניהם

[עריכה] הזווית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני

[עריכה] שני מיתרים במעגל נחתכים כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר

[עריכה] אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת חלקי החותכים (החיצוני והפנימי) שווה

[עריכה] אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא