מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משולש

מושגי יסוד

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

- חסר יתר, ניצבים

משולש הוא מצולע סגור בעל שלוש צלעות ושלוש זוויות פנימיות.

את הצלעות והזוויות מאזכרים עפ"י קדקודים. כך שלצלע הכלואה בין קדקודים A ו-B בציור, לדוגמה, ניתן לקרוא "צלע AB", והזווית הכלואה בין צלע AB וצלע AC נקראת "זווית BAC"(או "זווית CAB", שים לב כי A תמיד במרכז, משום שהוא הקדקוד המרכז של הזווית). כאשר ברור לחלוטין לאיזו זווית הכוונה, נהוג לעתים לאזכר זווית בעזרת קדקוד אחד בלבד(לדוגמה - זווית A בציור היא למעשה זווית BAC).

מיון משולשים

מיון משולשים על פי זוויות

• 

  משולש חד זווית.

• 

  משולש קהה זווית.

• 

  משולש ישר זווית.

משפטים על הזוויות במשולש

• סכום כל הזוויות במשולש שווה תמיד ל-180 מעלות.
• זווית חיצונית למשולש היא זווית הנמצאת מחוץ למשולש, על המשך אחת מצלעות המשולש (המשך צלע נמצא תמיד בקו ישר, כלומר זווית 180 מעלות, איתה) וכלואה בין המשך הצלע לצלע שהיא חלק מהמשולש (ולא להמשך שלה או לישר אחר). מהמשפט הקודם ניתן להסיק כי זווית חיצונית למשולש שווה תמיד לסכום שתי הזוויות הפנימיות במשולש שאינן צמודות לה.
• מול זוויות שוות במשולש נמצאות צלעות שוות (הצלע מול זווית היא הצלע שהזווית אינה כלואה בתוכה), ואם ידוע כי זווית אחת גדולה יותר מזווית אחרת בתוך המשולש, מול הזווית הגדולה תמצא צלע גדולה יותר.

• תרגול

נתון : ABC משולש AEמקביל BC הוכח : סכום הזוויות במשולש ACB הוא 180 מעלות.

מיון משולשים על פי צלעות

משולש ישר זוית

כיתוב תמונה

משולש ישר זווית (או בקיצור משי"ז) הוא משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90°. במשולש זה, הצלע שמול הזווית בת ה-90° נקראת היתר ואילו שתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

משולש זהב וכסף

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

משולש זהב הוא כינוי בבית ספר למשולש ישר זווית בעל זוג צלעות שוות (כלומר 45 מעלות).

משפטים הקשורים למשי"ז

• משפט פיתגורס (והמשפט ההפוך לו)
• אם במשי"ז אחת הזוויות שווה ל30°, הצלע שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך).
• התיכון ליתר במשי"ז שווה למחצית היתר (ולהפך)
• הגובה ליתר במשי"ז מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי
• הגובה ליתר במשי"ז הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. (ולהפך)
• משפט אוקלידס - במשי"ז ניצב הוא הממוצע הגיאומטרי של

משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים (מש"ש או משולש שו"ש) הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות בגודלן.

במשולש שווה שוקיים:

• השוקיים הן הצלעות השוות של המשולש.
• הבסיס הוא הצלע השלישית של המשולש.
• זוויות הבסיס הן הזוויות הצמודות לבסיס.
• זווית הראש היא הזווית שאינה צמודה לבסיס.

משפטים יחודיים למשולש שווה שוקיים:

• במש"ש זוויות הבסיס שוות (עפ"י החוק: מול צלעות שוות במשולש זוויות שוות).
• במש"ש הגובה לבסיס, חוצה הזווית לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים(מהווים ישר אחד).
• מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות ולהפך

כיצד נוכיח שמשולש הוא שו"ש?

• משולש ששתיים מצלעותיו שוות הוא שו"ש עפ"י הגדרתו.
• משולש בו הגובה לאחת הצלעות הוא גם תיכון הוא שו"ש והצלע היא הבסיס.
• משולש בו הגובה לאחת הצלעות הוא גם חוצה זווית הוא שו"ש והצלע היא הבסיס.
• משולש בו שתי זוויות שוות הוא שו"ש.

תרגול

משולש שווה צלעות

משולש שווה צלעות הוא משולש שכל צלעות שוות. כלומר: משולש שווה צלעות הוא למעשה משולש שווה שוקיים, שבו הבסיס שווה לשתי השוקיים. לפיכך, כל המשפטים שחלים על מש"ש חלים גם על משולש שווה צלעות(מש"ץ).

בנוסף לכך, במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ל-60 מעלות. נוכיח זאת:

משולש שווה צלעות הוא למעשה משולש שווה שוקיים בו כל צלע יכולה לשמש כבסיס. לכן, לצורך העניין, נבחר ב-BC כבסיס. מכאן נובע כי זווית B שווה לזווית C(במש"ש זוויות בסיס שוות). כעת נבחר ב-AB כבסיס. נוכל להגיד כעת כי זווית A שווה לזווית B מאותה סיבה. נסיק כי כל הזוויות במשולש שוות עפ"י כלל המעבר. נסמן כל זווית ב-x ונסיק מהכלל, כי סכום כל הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, כי $3x=180^\circ$ וכי $x=60^\circ$. כלומר: כל זווית במשולש שווה צלעות היא בת 60 מעלות.

כיצד נוכיח כי משולש הוא שווה צלעות?

• משולש שכל צלעותיו שוות הוא שווה צלעות.
• משולש ששתיים מצלעותיו שוות וזווית אחת בו שווה 60 מעלות הוא משולש שווה צלעות.

משולש שונה צלעות

כיתוב תמונה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

קטעים מיוחדים במשולש

אנך

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

נקודת המפגש של האנכים האמצעיים

גובה

• 

  גובה - הקטע היוצא מקודקוד של המשולש ומאונך לצלע.

• 

  גובה מחוץ למשולש.

תיכון

תיכון - הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו

חוצה זווית

חוצה זווית - הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם הצלע שממולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשניים

קטע אמצעים במשולש

קטע אמצעים במשולש הוא קטע היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומגיע לאמצע צלע אחרת.

• קטע אמצעים במשולש חוצה את שתי הצלעות שהוא חותך.
• קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שאותה אינו חותך.
• קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שאותה אינו חותך.

כיצד נוכיח שקטע במשולש הוא קטע אמצעים?

• קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע אחרת במשולש הוא קטע אמצעים עפ"י הגדרתו.
• קטע היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע אחרת הוא קטע אמצעים במשולש.
• קטע המקביל לאחת הצלעות במשולש ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.

מעגל/משולש חסום/חוסם

משפט : שלושת חוצי הזוויות במשולש נחתכים בנקודה אחת זו היא מרכז המעגל החסום. משפט : שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון ביחס 2:1 כאשר החלק גדול יוצא מהקודקוד. משפט : שלושת האנכים האמצעים במשולש נחתכים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החסום.