מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/מקבילית
מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.
מקבילית היא מצולע בעל ארבע צלעות, שכל שתי צלעות נגדיות שלו מקבילות.
באופן מתמטי נאמר שאם מרובע 
הוא מקבילית, אזי:
1) 
2) 
[עריכה] משפטים המתקיימים במקבילית
[עריכה] כל שתי זויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו
נתונים -
1)
2)
צריך להוכיח -
1) 
2) 
הוכחה -
3) 
(זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
4) 
(זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
5) 
(זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
6) 
(נובע מ3,4)
7) 
(נובע מ3,5)
[עריכה] משפט הפוך: מרובע בו כל שתי זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית
נתונים -
1) 
2)
הוכחה -
3) 
(סכום זוויות במרובע)
4) 
(הצבת 1,2 ב3)
5) 
(הצבת 1,2 ב3)
6) (מ4, אם שתי זויות חד-צדדיות משלימות ל180°, הישרים מקבילים)
7) 
(מ5, אם שתי זויות חד-צדדיות משלימות ל180°, הישרים מקבילים)
8) מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית ע"פ ההגדרה. מ.ש.ל.
[עריכה] כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו
נתונים -
1)
2)
3) (נובע מהמשפט הראשון בעמוד זה)
הוכחה -
4) 
(זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
5) 
(שיוויון הינו רפלקסיבי - כל דבר שווה לעצמו)
6) 
(מ3,4,5 משפט חפיפה שני - ז.ז.צ)
7) 
(צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
8) 
(צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
[עריכה] מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית
נתונים -
1)
2)
הוכחה -
3) (רפלקסיביות השיוויון)
4) (מ1,2,3 משפט חפיפה שלישי - צ.צ.צ)
5) 
(זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ4)
6) 
(זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ4)
7) (נובע מ5, אם שתי זויות מתחלפות שוות הישרים מקבילים)
8) (נובע מ6, אם שתי זויות מתחלפות שוות הישרים מקבילים)
[עריכה] אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה
נתונים -
1)
2)
3) (כתוצאה מהמשפט השלישי בעמוד זה)
הוכחה -
4) 
(זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
5) 
(זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
6) 
(מ3,4,5 משפט חפיפה שני - ז.צ.ז)
7) 
(צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
8) 
(צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
[עריכה] מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
נתונים -
1)
2)
הוכחה -
3) 
(זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
4) 
(זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
5) 
(מ1,2,3 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
6) 
(מ1,2,4 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
7) (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ5)
8) (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
9) מקבילית (נובע מ7,8 והמשפט הרביעי בעמוד זה)
[עריכה] כל מרובע בעל זוג צלעות מקבילות שוות הוא מקבילית
נתונים - (ללא הגבלת הכלליות - ניתן לבחור את הזוג השני באותה מידה)
1)
2)
הוכחה -
3) (זויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
4) (רפלקסיביות השיוויון)
5) 
(מ1,3,4 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
6) (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ5)
7) מקבילית (נובע מ1,6 והמשפט הרביעי בעמוד זה)
