מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/תחומי הצבה והגדרה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | קבוצות ותחומים

תוכן עניינים

1 תחומי הצבה

[עריכה] תחומי הצבה

במערכות משוואות ואי-שוויונות, לא תמיד ניתן להציב כל מספר כנעלם או משתנה. לעיתים אנו ניצבים בפני תרגיל שבו ניתן להציב רק תת-קבוצה של המספרים הממשיים. למשל, אם קיבלנו משוואה מהסוג: $4+\frac{1}{x-5}=3$ , אז אסור להציב $\;x=5$ מכיוון שחילוק ב-0 איננו מוגדר. במקרה זה, הקבוצה שמותר לנו להציב (שתקרא תחום ההצבה) היא הקבוצה שמכילה כל $\;x$ פרט ל-5. את זה מסמנים כך:

$\;x\neq{5}$

למעשה, הסימון הזה אומר במובלע ש- $\;x$ אינו 5 אך יכול להיות כל אחד אחר. כלומר, מותר להציב כל מספר פרט ל-5. כדוגמה נוספת, ניקח את המשוואה:

$4+\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-9}=3$

נקבל שאסור להציב 5 או 9. כלומר הקבוצה שאסור להציב היא $\left\{5,9\right\}$ , אבל אנו מתבקשים למצוא את התחום שבו מותר להציב. התחום הזה הוא המשלים של התחום בו אסור להציב. כלומר, זה כל המספרים שהם לא המספרים 5 או 9. לפי חוקי דה-מורגן אנו מקבלים שקבוצה זו היא הקבוצה שלא מכילה את 5 וגם לא את 9 (בדוק!).
על מנת למצוא את תחומי ההצבה של משוואה זו או אחרת, עלינו ראשית למצוא את הקבוצה שבה אסור לנו להציב. לקבוצה זו אנו מוצאים את המשלים וזהו כאמור תחום ההצבה.

[עריכה] דוגמה 1

נתונה המשוואה:

$\frac{2}{x^2-9}+\frac{1}{5-x}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: נפתור את המשוואה $\;x^2-9=0$ על מנת למצוא מתי השבר השמאלי במשוואה אינו מוגדר. הפתרון מתקבל מיידית, וקבוצת הפתרון היא $x_{1,2}=\pm 3$ . בשבר השני כמובן אסור להציב 5, מכיוון שגם אז השבר לא מוגדר. מכאן שהקבוצה של המספרים אותם אסור לנו להציב היא הקבוצה $\left\{-3,3,5\right\}$ ומכאן שתחום ההצבה הוא: $\;x\neq -3$ וגם $\;x\neq 3$ וגם $\;x\neq 5$ .

[עריכה] דוגמה 2

נושא זה ידון שוב ביתר הרחבה בפרק אי שיויונות. נניח שנתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה- $; x$ ים שמותר להציב, ולכן תחום ההצבה הוא $\;x\ge -5$ כפי שקל לראות (פתרון של אי-שיויונות ידון בהמשך הספר).
תשובה: תחום ההצבה המבוקש הוא $\;x\ge -5$ .

[עריכה] דוגמה 3

נתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}-\sqrt{x-4}=3$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: לפי הגדרת השורש הריבועי במספרים הממשיים כאמור, אסור להציב בו מספרים שליליים. לכן, קבוצת ההצבה שלנו צריכה להיות כל ה- $; x$ ים שמותר להציב, כלומר תחום ההצבה הוא $\;x\ge -5$ וגם $\;x\ge 4$ . שימו לב שמדובר כאן על קשר לוגי וגם בין שני התנאים אז אנו מחפשים את קבוצת החיתוך של שני התנאים. במקרה זה, ברור שאם $\;x\ge 4$ אז הוא גם $\;x\ge - 5$ ואז החיתוך הוא בדיוק $\;x\ge 4$ . והתשובה הסופית היא: תחום ההצבה הוא: $\;x\ge 4$ .

[עריכה] דוגמה 4

נתונה המשוואה:

$\sqrt{x+5}-\frac{1}{\sqrt{-x-2}}=2$

מצא את תחום ההצבה.
פתרון: במקרה זה הפתרון הוא מעט שונה, אם כי השיטה זהה. ראשית, נבדוק מתי מותר להציב, כלומר, כאשר $\;x+5\ge 0$ וגם $\;-x-2\ge 0$ אבל יש גם את השבר, אז צריך לדרוש גם ש- $\;-x-2\ne 0$ . זה חיתוך של כל שלושת הקבוצות הללו, כי על $\;x$ לקיים את כל התנאים בו זמנית. התשובה תתקבל מ: $\;x\ge -5$ וגם $\;x\le -2$ וגם $\;x\ne -2$ ולאחר פישוט מתקבלת התשובה הסופית: $\;x\ge -5$ וגם $\;x< -2$ ואת זה אפשר גם לכתוב כך: $\;-5\le x< -2$ .