מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/מושג הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | סדרות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 סדרות
- 1.1 הגדרות
- 1.2 דוגמאות לסדרות
2 גבול
- 2.1 אריתמטיקה של גבולות

[עריכה] סדרות

[עריכה] הגדרות

קבוצה: אוסף של איברים. אין חשיבות לסדר הופעת האיברים בקבוצה, כמו כן אין משמעות לאיברים כפולים.

קבוצה יכולה להיות סופית (לדוגמא: קבוצת האותיות באלף-בית) או אינסופית (לדוגמא: קבוצת המספרים הטבעיים).

סדרה: סדרה היא קבוצה שבה יש חשיבות לסדר האיברים. קיים בה איבר ראשון, שני וכד'. בסדרה יתכנו איברים כפולים כיוון שהם נבדלים במיקומם בסדרה. נסמן סדרה באופן הבא: $\ \left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ .
דרך נוספת להגדיר סדרה היא כפונקציה מהמספרים הטבעיים לאיברי הסדרה.

[עריכה] דוגמאות לסדרות

סדרת הטבעיים $1,2,3,\dots$
סדרת הזוגיים $2,4,6,\dots$
סדרת האי-זוגיים $1,3,5,\dots$
הסדרה ההרמונית $\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$

[עריכה] גבול

נגדיר תחילה את מושג הגבול באופן אינטואיטיבי ולא פורמאלי. תהי $\left\{a_n\right\}$ סדרת מספרים ממשיים. נניח כי לסדרה קיים גבול. הגבול הוא למעשה מספר ממשי, לצורך הדיון, נניח שהגבול של הסדרה הנתונה הוא 4.51. לכל איבר בקבוצה ניתן לחשב את ה"מרחק" שלו מהגבול (הגדרה פורמאלית למושג המרחק תנתן בהמשך). מרחק הוא גודל אי-שלילי, נשתמש במספרים ממשיים אי-שליליים לציון ערכו של המרחק. ככל שהמספר גדול יותר , המרחק גדול יותר ולהיפך. וכעת נגדיר את הגבול באופן הבא: לכל מרחק שנבחר, קיים איבר בסדרה, אשר ממנו ואילך, המרחק בין איברי הסדרה והגבול קטן ממש מהמרחק שבחרנו.

אם נשתמש בדוגמא, נניח שבחרנו את המרחק להיות 3, נגדיר כעת את המרחק בין אברי הסדרה לגבול כערך המוחלט של ההפרש בינהם. הגדרה זו תואמת לדרישות שלנו כיוון שככל שההפרש גדול יותר המרחק גדול יותר וכמו כן הערך המוחלט מבטיח שהערכים הם אי-שליליים.

אז על-פי הגדרת הגבול, קיים איבר בסדרה, אשר ממנו ואילך, מרחק האיברים בסדרה קטן ממש מ-3 כלומר ערכי האיברים הללו, יהיו בין 7.51 ל1.51 (לא כולל).

נגדיר כעת את מושג הגבול באופן פורמאלי.

תהי $\{a_n\}\;$ סדרת מספרים ממשיים, ויהי L מספר ממשי. L יקרא הגבול של $\{a_n\}\;$ ויסומן באופן הבא $\lim_{n \to \infty} a_n=L,$ אם ורק אם לכל ε > 0 קיים מספר טבעי N כך שלכל n > N מתקיים $|a_n - L| < \varepsilon$ . המשמעות הפשוטה של זה - עבור כל מרחק שניקח מהגבול, גם מרחקים קטנים מאוד, קיימת איזו נקודה בסדרה שהחל ממנה כל איברי הסדרה אינם רחוקים מהגבול יותר ממרחק זה.

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות

אם L הוא הגבול של הסדרה ${a n}$ ו-K הוא הגבול של הסדרה ${b n}$ אז L+K הוא הגבול של הסדרה ${a n} + {b n}$
אם L הוא הגבול של הסדרה ${a n}$ ו-K הוא הגבול של הסדרה ${b n}$ אז L-K הוא הגבול של הסדרה ${a n} - {b n}$
אם L הוא הגבול של הסדרה ${a n}$ ו-K הוא הגבול של הסדרה ${b n}$ אז L+K הוא הגבול של הסדרה ${a n} + {b n}$

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/מושג הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] סדרות

[עריכה] הגדרות

[עריכה] דוגמאות לסדרות

[עריכה] גבול

[עריכה] אריתמטיקה של גבולות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא