מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | בעיות מילוליות

תוכן עניינים

1 הקדמה
2 סימונים
3 הנוסחא
- 3.1 השימוש בנוסחא
4 זמן (S)
5 מרחק
6 מהירות (V)
- 6.1 מהירות של הולך רגל א' גדולה ב-50% ממהירות הולך רגל ב'
- 6.2 אין דבר כזה מהירות ממוצעת
7 ציור סכמטי ככלי עזר
- 7.1 דוגמא
8 טבלה
- 8.1 דוגמא
9 שאלות 2 טבלאות
- 9.1 דוגמא
10 חלוקה לשלבים
11 אחוזים
12 משפט פיתגורס
13 שאלות זרם

[עריכה] הקדמה

בעיות תנועה הן בעיות מילוליות. המאפיין אותן הוא סוג הנתונים ; מידע הנוגע למרחק ,מהירות וזמן.

דוגמא לשאלה : רוכב אופניים יצא מתחנת המוצא בשעה 12:00 והגיע ליעדו אחרי 10 שעות (מידע על הזמן). מה היה המרחק אם ידוע שמהירות הרוכב היתה 5 קמ"ש (מהירות)?.

בעיות תנועה מתבססות על נוסחא פיסיקלית בסיסית הלקוחה מתחום ה"קינמטיקה" - או "חקר התנועה". לכן, עלינו לקבלה במסגרת ספר זה כאקסיומה (ללא הוכחה).

הנוסחא אומרת כי :

הדרך שגוף עובר (במהירות קבועה) היא מכפלת הזמן במהירות או בנוסחא : $s=v \cdot t$ .

קשר פיסיקלי זה ילווה אותנו לאורך כל הדרך בבואנו לפתור בעיות תנועה.

[עריכה] סימונים

נהוג לסמן את הנתונים בבעיות התנועה באותיות :

$\;s$ - מרחק; הדרך שהגוף עבר.
$\;t$ - זמן ; הזמן שעבר, הגוף.
$\;v$ עבור מהירותו הממוצעת של הגוף.

הערות :

כל שלושת היחידות לעיל הן יחידות מידה שאינן יכולות להיות שליליות!
עלינו לשמור על יחידות אחידות בבואנו לפתור בעיות תנועה. על נושא היחידות נדון בהמשך.

[עריכה] הנוסחא

הנוסחא הבסיסית שעליה מתבססות כל בעיות התנועה היא:

משפט: תנועה

$s=v \cdot t$

T – זמן.
V – מהירות.
S – דרך.

[עריכה] השימוש בנוסחא

על מנת לנסות להבין את הנוסחא, הבא נתבונן שוב בדוגמא שנתנו על רוכב האופניים. במקרה שלנו, רוכב האופניים נסע 10 שעות כלומר $\; t=10_h$ . מהירותו היתה 5 קמ"ש כלומר $\; v=5_\frac{km}{h}$ ועל כן, נציב בנוסחא ונקבל:

$s = v\cdot t \ \ \Rightarrow s=5_\frac{km}{h} \cdot 10_h = 50_{km}$

לכן, התשובה היא 50 ק"מ.

[עריכה] זמן (S)

[עריכה] יחידות

דקה (sec)
שעה (hr)
יממה – נדיר בשאלות תנועה.

[עריכה] המרה

על מנת להפוך דקות לשעות עלינו להבין ראשית ששעה אחת היא 60 דקות, כלומר:

$1_{hour} = 60_{min}\rightarrow 1_{min}=\frac{1_{hour}}{60}$

כך למשל, על פי חישוב זה, קל לראות ש-10 דקות הן בדיוק שישית שעה : $1_{hour} = 60_{min}\rightarrow 10_{min}=\frac{10_{hour}}{60}=\frac{1}{6}$

כלומר, כאשר נתון לנו דקות ואנו רוצים להמיר אותם לשעות נבצע את הפעולה : sec/60 (הדקות מתוך שעה).

[עריכה] שברים וזמן

לפעמים, בשאלות מופיעים שברים כנתון זמן. למשל, כשאומרים :

רבע שעה, מתכוונים ל-15 דקות.
חצי שעה, מתכוונים ל-30 דקות.
שליש משעתיים, מתכוונים ל-40 דקות

בכדי לגלות את השבר, נעזרים בפעולת חילוק. בפועל הפעולה היא : שבר כפול שעה או בנוסחא : שבר*60.

הרחבה בנושא : שבר פשוט

[עריכה] טיפים

[עריכה] משך נסיעה מול שעה

רוכב אופניים יצא ב-6:00 בבוקר מהעיר שלו.
הוא נסע במשך שעתיים – למשך כמה זמן נסע.
יגיע לעיר בשעה 8:00 – השעה בה הגיע לעיר השנייה/השיג רכב ועוד.

הטעות הנפוצה : תלמידים פותרים את התרגיל, מגלים ש-t=2 (זמן נסיעה) ושוכחים למצוא את השעה הרצויה.

בני גורן 006 עמוד 15 סעיף 1

[עריכה] עוד

מכונית נסעה למשך 15 דקות.
אחרי עוד 25 דקות הגיע לנקודת המוצא.

כלומר משך זמן הנסיעה השני הוא 15+25 דקות ולא (25 דקות).

בני גורן 006 עמוד 17 שאלה 16

[עריכה] שעת יציאה ומשך נסיעה

רוכב א' יצאה ב-6:00.
רוכב ב' יצאה ב-8:00.

רוכב א' נסע יותר זמן (שעתיים יותר) . לכן :

רוכב א' יצאה ב-6:00. זמן נסיעה : x+2
רוכב ב' יצאה ב-8:00.. זמן נסיעה : X.

בני גורן 006 עמוד 15 סעיף 1

[עריכה] מרחק

[עריכה] יחידות

מ"מ - ס"מ-מ'-ק"מ

[עריכה] דצימטר

מ"מ - ס"מ-דצימטר-מ'-ק"מ

[עריכה] טיפים

[עריכה] שאלות השג (להשיג)

בכדי להשיג רכב/הולך וכדומה, צריך תחילה ששני הרכבים יפגשו, רק לאחר, ששניהם יגיעו לאותה נקודה, הרכב המהיר ישיג את הרכב האיטי.

כלומר הנתונים הם :

מרחק זהה.
זמן – שונה/דומה.
מהירות – שונה/דומה.

דוגמא : בני גורן 006 עמוד 15 סעיף 1

[עריכה] מרחק מ...

מכונית נסעה מירושלים לחיפה, מרחק של 440 ק"מ.
במרחק 200 ק"מ מחיפה נפגשה המכונית עם רכב אחר.

כלו מר המרחק שהמכונית נסע עד כה הוא 440-200=240 (ולא 200!).

בני גורן 006 עמוד 15 שאלה 3

[עריכה] שושנת הרוחות

אין תמונה

[עריכה] הלוך וחזרה

ספינה שטה וחזרה => המרחק בשני השלבים שווה!

[עריכה] מהירות (V)

חישוב מהירות נקבע על פי יחידות אחידות. נהוג :

יחידת זמן	מרחק	מהירות
דקות	מטרים	$\frac {sec}{m}$
שעות	קילומטרים	$\frac{hr}{km}$

הערה : ניתן גם לחשב מהירות על פי ק"מ לדקה.

[עריכה] מהירות של הולך רגל א' גדולה ב-50% ממהירות הולך רגל ב'

הנתון : מהירות של הולך רגל א' גדולה ב-50% ממהירות הולך רגל ב'.

הפתרון :

$v A = x + x / 2$
$V B = X$

[עריכה] אין דבר כזה מהירות ממוצעת

בחיים אין מצב בו תנסו למצוא ממוצע של מהירויות. ניתן למצוא מהירות ממוצעת

[עריכה] ציור סכמטי ככלי עזר

ציור סכמטי עוזר לנו להבין את נתוני השאלה באופן ויזואלי. לפעמים נעזר בציור ולפעמים לא. בדרך כלל, נהוג לעזר בציור סכמטי בבעיות בהם מופיע משפט פיתגורס.

בני גורן 006 עמוד 15 שאלה 6

[עריכה] דוגמא

שאלה

משאית זבל יוצאת בשעה 6:00 בבוקר לסיבוב הזבל שלה אשר מתחיל בנקודה A ונגמר בנקודה B. במהלך הסיבוב היא עוצרת 5 פעמים למשך 10 דקות. הסיבוב הסתיים בשעה 10:00. כאשר המשאית בתנועה, מהירותה הממוצעת היא 30 קמ"ש. מה אורך מסלול התנועה של המשאית?

למרחק בין שתי הנקודות A ו-B קראנו $\;s$ כיאה למרחק. את הזמן שנסעה המשאית בפועל (לא כולל העצירות) נסמן ב- $\;t$ כיאה לזמן. לכן, המקרא שלנו יראה כך:

נסמן:

$\;s$ - המרחק שעברה המשאית במהלך סיבוב הזבל =?.
$\;t$ - הזמן שנסעה המשאית ללא העצירות.
$\;T$ - הזמן הכולל שלקח כל המסלול (נסיעה+עצירות).
V – מהירות המשאית 30 קמ"ש .

נותר לנו לחבר את הנתונים יחד ולקבל מהם משוואות.

הזמן הזמן הכולל מורכב משני משתנים : עצירות + נסיעה.

סימון את זמן הנסיעה באות t.

עתה, נמצא את משך זמן העצירות . ידוע כי המשאית עצרה חמישה עצירות למשך 10 דקות. כלומר, הזמן הכולל שעברה המשיאות הוא: $\;t+5\cdot 10_{min}$ .

שימו לב : זמן העצירה הנתון, נתון לנו בדקות, אך, מהירות המשאית נתון לנו בקילומטר לשעה ולא לדקה. על מנת שהמשוואות שלנו יהיו נכונות, עלינו להשתמש ביחידות זמן אחידות לכל אורך השאלה. לכן, עלינו להמיר את הדקות לשעות (או להפוך את מהירות המשאית לק"מ לדקה - אך אנו בחרנו דוקא את האופציה הראשונה). נבצע : $1_{hour} = 60_{min}\rightarrow 1_{min}=\frac{1_{hour}}{60}$

על כן נקבל שהזמן הכולל שעבר מתחילת המסלול ועד סופו הוא:

$T = t+5\cdot \frac{1_{hour}}{6}$

מצד שני, נתון לנו משך הזמן הכולל : - $\;T=4_h$ מכיוון שהמסלול החל בשעה 6:00 והסתיים בשעה 10:00. קיבלנו משוואה פשוטה על הזמן $\;t$ . המשוואה היא:

$t+\frac{5_h}{6} = 4_h\;\ \Rightarrow\;t = \frac{19_h}{6}$

מצאנו את t. מכאן שיש לנו זמן ומהירות :

$t=\frac{19}{6}$
$v=30 \frac {km}{h}$

נציב בנוסחא ונקבל :

$s = v\cdot t \;\;\Rightarrow\; s=30_\frac{km}{h} \cdot \frac{19_h}{6} = 95_{km}$

וזוהי התשובה.

[עריכה] טבלה

טבלה עוזרת לנו לסדרת את הנתונים במקרא ומקלה על דרך הפתרון. הטבלה נראת כך :

זמן	מהירות	דרך
נתונים	נתונים	נתונים

[עריכה] דוגמא

על מנת להבין את דרך הפתרון, נתחיל עם דוגמא:

מכונית יצאה מעיר A לכיוון עיר B במהירות 80 קמ"ש. היא הגיעה לעיר B כעבור שעתיים. מצא את המרחק בין הערים.
פתרון: נשרטט טבלה מהצורה הזו:

	T	V	S
מכונית	כאן נציב את הזמן	כאן נציב את המהירות	כאן תתקבל הדרך

לפי הכתוב בה, נציב את הנתונים מהשאלה (מהירות=80, זמן=שעתיים):

	T	V	S
מכונית	2	80	בהתאם לנוסחא: $2 \cdot 80$

כעת נחשב: $2 \cdot 80 = 160$

תשובה סופית: המרחק בין הערים הוא 160 ק"מ

אנו רואים, אם כך, שבכדי למצוא את הפתרון נצטרך להציב בנוסחא. הנה דוגמא נוספת:

מכונית ורוכב אופניים יצאו בו זמנית מעיר A לעיר B. מהירות רוכב האופנים הייתה 15 קמ"ש, ומהירות המכונית 90 קמ"ש. המכונית הגיעה לעיר B ומייד חזרה לA. בדרכה חזרה היא עברה 5 ק"מ ופגשה את רוכב האופניים. מהו המרחק מעיר A לעיר B?

פתרון: זוהי בעייה מעט יותר מסובכת. תחילה נסמן בX את המרחק מA לB. אנו יודעים שנקודת הפגישה היא 5 ק"מ מB. לכן, אנו יודעים שדרך האופניים היא X-5, כלומר, המרחק בין A לB פחות 5 ק"מ שהרוכב לא הספיק לעבור עד הפגישה. לעומתו, דרך המכונית תהיה X+5, שכן היא עברה את כל המרחק בין A לB, ועוד 5 ק"מ. כמו כן, אנו יודעים שהנוסחא הבסיסית מקבילה לנוסחא הזו: $T={S \over V}$ , ולכן, כאשר נציב בה את הנתונים שברשותינו עד עכשיו, נקבל:

עבור המכונית: $T={X+5 \over 90}$

עבור האופניים: $T={X-5 \over 15}$

נציב בטבלה את כל הנתונים:

	T	V	S
מכונית	$T={X+5 \over 90}$	90	X+5
רוכב אופניים	$T={X-5 \over 15}$	15	X-5

כעת, כל מה שנותר, מכיוון שאנחנו יודעים שהם נסעו במשך אותו הזמן, הוא להשוות את הזמנים:

${X+5 \over 90} = {X-5 \over 15}$

$X+5 = 6 \cdot \left(X-5 \right)$

$X+5 = 6 \cdot X -30$

$35=5 \cdot X$

X=7

מכיוון שאת המרחק סימנו בX, אז המרחק בין שתי הערים הוא 7 ק"מ

[עריכה] שאלות 2 טבלאות

שאלות בהן יש מערכת של משוואות :

נעזר בשתי טבלאות או חישוב בע"פ.
נפרק את השאלה לגורמים.

תרגול : בני גורן 006 עמוד 15 שאלה 5

[עריכה] דוגמא

שני רוכבים, האחד מנס ציונה והשני מאשדוד, יצאו זה לקראת זה. המרחק בין נס ציונה לאשדוד הוא 80 ק"מ. אחרי שעתיים המרחק בין הרוכבים היה 3 ק"מ. הרוכב שיצא מנס ציונה לאשדוד, נסע במשך שעה וחצי יותר מהרוכב שנסע מירושלים לנס ציונה. מצד V.

פישוט :

המרחק בין נס ציונה לאשדוד הוא 80.
אחרי שעתיים המרחק בין הרוכבים היה 3 ק"מ.
הרוכב שיצא מנס ציונה לאשדוד, נסע במשך שעה וחצי יותר מהרוכב שנסע מירושלים לנס ציונה. מצד V.

בנית הטבלאות:

[עריכה] טבלה 1

	T	V	S
נס ציונה	2	$V 1$	77
אשדוד	2	$V 2$	77

על פי סעיף 2 – המרחק בין שני הרוכבים היה 3 ק"מ, כלומר, שני הרוכבים נסעו יחד 80-3=77 ק"מ. כלומר :

$S 1 + S 2 = S$
$V 1 * T 1 + V 2 * T 2 = S$
נציב נתונים : $V 1 * 2 + V 2 * 2 = 77$

[עריכה] טבלה 2

	T	V	S
נס ציונה	80	$V 1$	$X+\frac{1}{2}$
אשדוד	80	$V 2$	X

[עריכה] השוואה בין הטבלאות

ישנם דרכים רבות להשוואות בין הטבלאות , לפי דעתי ההשוואה הפשוטה ביותר היא כפי שמסובר בהסבר של טבלה 1. כלומר, הצבת המהירות שהתקבלה בטבלה 2 בתרגיל : V_1*2+V_2*2=77.

דוגמא לדרך נוספת : בני גורן 006 עמוד 15 שאלה 4

[עריכה] חלוקה לשלבים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

[עריכה] אחוזים

	אחוז	מספר
שלם	100	תלוי בשאלה.
שבר	תלוי בשאלה	תלוי בשאלה.

אלכסון * מספר למעלה / הצד.

דוגמא :

ביום א' רוכב נסע במהירות X
ביום ב' הרוכב נסע במהירות הגדולה ב-20% ממהירותו ביום א'.

	אחוז	מספר
שלם	100	X.
שבר	20	X=20*X/100.

הרחבה בנושא : אחוזים

בני גורן 006 עמוד 16 שאלה 6

[עריכה] משפט פיתגורס

משפט פיתגורס

הערה : כאשר משתמשים במשפט פיתגורס יש לשמור על אחידות של יחידות, אך, אין זה משנה מה אין היחידות. מותר להיעזר במשפט עבור יחידת הזמן דקה, שעה, ק"מ, מטר ועוד. רק שימו לב ליחידת הזמן המבוקשת. למשל, כאשר שואלים : מהי מהירות הגוף לקמ"ש.

[עריכה] שאלות זרם

שאלות מסוג "גוף שט עם כיוון הזרם ונגד כיוון הזרם. מצא מהירות הזרם ואת מהירות הגוף".

בשאלות מסוג זה, קיימים שני מהירויות :

מהירות הגוף
מהירות הזרם

לכן, מן הסתם, נסמן את המהירויות של שני הגורמים בסימון שונה.

אם נחשוב על גוף ששט במים נוכל לומר בברור שכאשר הגוף שט בכיוון הזרם המהירות שלו גדלה, כיוון, שהזרם אינו מתנגד לו. לכן בחישוב נבצע :

כאשר שטים עם הזרם - מוסיפים את מהירות הזרם.
כאשר שטים נגד הזרם - מפחיתים את מהירות הזרם.

השיט עצמו נמדד אז כשיט במהירות מסוימת במים עומדים + מהירות הזרם (עם שטים עם הזרם) או - מהירות הזרם (אם שטים נגד הזרם).

דוגמא : בני גורן 006, עמוד 18 תרגילים 19-23

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/בעיות מילוליות/בעיות תנועה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הקדמה

[עריכה] סימונים

[עריכה] הנוסחא

[עריכה] השימוש בנוסחא

[עריכה] זמן (S)

[עריכה] יחידות

[עריכה] המרה

[עריכה] שברים וזמן

[עריכה] טיפים

[עריכה] משך נסיעה מול שעה

[עריכה] עוד

[עריכה] שעת יציאה ומשך נסיעה

[עריכה] מרחק

[עריכה] יחידות

[עריכה] דצימטר

[עריכה] טיפים

[עריכה] שאלות השג (להשיג)

[עריכה] מרחק מ...

[עריכה] שושנת הרוחות

[עריכה] הלוך וחזרה

[עריכה] מהירות (V)

[עריכה] מהירות של הולך רגל א' גדולה ב-50% ממהירות הולך רגל ב'

[עריכה] אין דבר כזה מהירות ממוצעת

[עריכה] ציור סכמטי ככלי עזר

[עריכה] דוגמא

[עריכה] טבלה

[עריכה] דוגמא

[עריכה] שאלות 2 טבלאות

[עריכה] דוגמא

[עריכה] טבלה 1

[עריכה] טבלה 2

[עריכה] השוואה בין הטבלאות

[עריכה] חלוקה לשלבים

[עריכה] אחוזים

[עריכה] משפט פיתגורס

[עריכה] שאלות זרם

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא