מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/וקטורים שראשיתם בנקודה אחת וסופם על מישור

גם הפרק הזה הוא קצר ונועד בעיקר כהקדמה לפני שמתחילים את לעבוד על הצגות פרמטריות. באופן כללי, החומר בפרק הזה הינו יחסית שולי ואם קרה ולא הבנתם את הטענה ניתן בקלות לחזור עליו לקראת ההכנה לבחינה.

כפי שלמדנו על התכונות המעניינות שיש לשלושה וקטורים שמוצאם בנקודה משותפת והם מסתיימים על ישר, בפרק זה נלמד על התכונות המעניינות שיש לארבעה וקטורים בעלי ראשית משותפת ושהם מסתיימים על מישור.

הטענה

בלי הסברים מיותרים נגיע לטענה המרכזית של הפרק:

טענה 1: ארבעה וקטורים בעלי ראשית משותפת ושמסתיימים על מישור בהינתן חמש נקודות $A,B,C,D,O$ (הנקודה $O$ היא לא בהכרח הראשית). אם הוקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}$ ו- ${\overrightarrow {OD}}$ מסתיימים על אותו המישור, אז מתקיים: ${\overrightarrow {OD}}=t_{1}\cdot {\overrightarrow {OA}}+t_{2}\cdot {\overrightarrow {OB}}+t_{3}\cdot {\overrightarrow {OC}}$ וגם $t_{1}+t_{2}+t_{3}=1$.

הוכחה

שקלו לדלג על נושא זה מומלץ לשקול לדלג על נושא זה בפעם הראשונה בה נתקלים בו, ולחזור אליו רק לאחר מעבר כללי על כל הספר.

הוכחה: הוקטורים ${\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}$ הם בלתי-תלויים, לכן ניתן לרשום

${\overrightarrow {OD}}=t_{1}\cdot {\overrightarrow {OA}}+t_{2}\cdot {\overrightarrow {OB}}+t_{3}\cdot {\overrightarrow {OC}}$ עבור $t_{1},t_{2},t_{3}$ מספרים ממשיים כלשהם.

כיון ש- $A,B,C,D$ על אותו המישור ניתן לרשום:

${\overrightarrow {AB}}=n\cdot {\overrightarrow {CD}}+m\cdot {\overrightarrow {AD}}$

מחיבור וחיסור של וקטורים ידוע לנו שניתן לרשום את המשוואה למעלה כ:

${\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=n\cdot {\overrightarrow {OD}}-n\cdot {\overrightarrow {OC}}+m\cdot {\overrightarrow {OD}}-m\cdot {\overrightarrow {OA}}$

נחליף את הוקטור OD בקומבינציה לינארית של הוקטורים האחרים, כפי שרשום למעלה, ונקבל:

${\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}=t_{1}n\cdot {\overrightarrow {OA}}+t_{2}n\cdot {\overrightarrow {OB}}+t_{1}n\cdot {\overrightarrow {OC}}-n\cdot {\overrightarrow {OC}}+t_{1}m\cdot {\overrightarrow {OA}}+t_{2}m\cdot {\overrightarrow {OB}}+t_{3}m\cdot {\overrightarrow {OC}}-m\cdot {\overrightarrow {OA}}$

נצרף ביטויים זהים ונעביר אגפים ונקבל:

$(n\cdot t_{1}+m\cdot t_{1}-m+1){\overrightarrow {OA}}+(n\cdot t_{2}+m\cdot t_{2}-1){\overrightarrow {OB}}+(n\cdot t_{3}+m\cdot t_{3}-n){\overrightarrow {OC}}={\vec {0}}$

כיון שהוקטורים הם בלתי-תלויים, מקבלים את שלושת המשוואות:

${\begin{matrix}n\cdot t_{1}+m\cdot t_{1}-m+1&=&0\\n\cdot t_{2}+m\cdot t_{2}-1&=&0\\n\cdot t_{2}+m\cdot t_{2}-n&=&0\end{matrix}}$

פתירה של שלושת המשוואות מובילה לתוצאה $t_{1}+t_{2}+t_{3}=1$.

אתגר: אל תיקחו את המילה שלנו בנוגע לזה. בידקו בעצמכם! הראו שמשלוש המשוואות ניתן להגיע ל- $t_{1}+t_{2}+t_{3}=1$.