מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר

נוסחאות משוואת הישר: $\ y=mx+c$ נוסחה משוואת הקו הישר: $\ y-y_{1}=m(x-x_{1})$ נוסחת השיפוע ($\ m$): ${y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}$ דף זה אינו עוסק בפונקציה ישרה.

הישר

ישר הוא קו העובר דרך שתי נקודות.

ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר: קו ישר יכול להיות פונקציה ישרה כאשר הוא עונה על תנאי הפונקציה. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה, אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל $\ x=2$ הוא ישר העובר דרך הנקודות $\ (2,0),(2,1)$ וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.

בנית ישר באמצעות הצבת ערכים

כאשר נתונה משוואת ישר, ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.

משוואת הישר

$\ y=mx+n$ (לעיתים מסמנים$\ a$ במקום $\ m$ ו-$\ b$ במקום $\ n$). כאשר $\ m$ ו- $\ n$ הם מספרים (מקדמים) ידועים.

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: $\ m$

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל $\ y=n$. כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.

שיפוע

• ראה הרחבה מצב הדדי בין פונקציות
  • אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: $\ m_{1}\cdot m_{2}=-1$
  • אם נתונה הזווית $\ \alpha$ עם ציר ה-x, מתקיים: $\ \tan \alpha =m$

פתרון בעיות

מציאת ישר באמצעות שתי נקודות

בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.

• נמצא את השיפוע של הישר באמצעות נוסחת השיפוע: ${y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}$
• הצבת השיפוע ונקודה ב$\ y-y_{1}=m(x-x_{1})$

=מציאת ישר באמצעות נקודה ושיפע

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע

במידה וידוע לנו שיפוע $\ m_{1}$ של פונקציית־ישר כלשהי, ובנוסף אנחנו יודעים שנקודה מסויימת שתסומן $\ A(x_{1},y_{1})$ נמצאת על הישר (כלומר, ערכי הנקודה מקיימים את פונקציית הישר), אזי קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? מאחר וערך השיפוע $m$ ידוע, וכן ערכי $y$ ו־$x$ ידועים, פשוט נציב את כל הידוע לנו במשוואת הישר $\ y=mx+n$:

• $\ y_{1}=m_{1}\cdot x_{1}+n$
• נפתור את המשוואה: $\ n=y_{1}-m_{1}\cdot x_{1}$.

זהו, מצאנו.

דוגמה

נתונה פונקציית הישר $\ y=5x+n$ (כלומר $m_{1}=5$), וידוע כי על הישר נמצאת הנקודה $\ A(4,30)$. מהו ערכו של $y$ כאשר $\ x=7$?

פתרון:

• נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר: $\ 30=5\cdot 4+n$
• נפתור ונקבל: $\ n=10$
• עכשיו ננסח מחדש את פונקציית הישר במלואה לפי תבנית הפונקציה: $\ y=5x+10$
• נציב את ערך ה־x שביקשו מאיתנו, ונקבל את הפתרון: $\ y=5\cdot 7+10=45$

וקיבלנו את הפתרון.

מציאת b בהנתן 2 נקודות

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות: $\ A(x_{1},y_{1})$ ו- $\ B(x_{2},y_{2})$. המשוואות שנקבל יהיו: $\left\{{\begin{matrix}y_{1}&=&m\cdot x_{1}+b\\y_{2}&=&m\cdot x_{2}+b\end{matrix}}\right.$

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.

המשמעות של n במשוואת הישר

n היא נקודת החיתוך עם y

כי אם x=0 אז y=mx+n=m*0+n=n

נקודה על הישר

נקודה רנדומלית הנמצאת על הישר, בעלת x ו-y. ניתן למצוא נקודה על הישר בעזרת השוואת ישרים.