מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/משולש ישר-זווית ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים

ריבוע שצלעו a+b

נתון: במשולש מסוים, אורכי הצלעות הן $a,b,c$ . הזוית בין הצלע שאורכה $a$ לצלע שאורכה $b$ ישרה.

צריך להוכיח: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

בניית עזר: נבנה ריבוע שאורך צלעו $a+b$ , ונחלק כל צלע לשני חלקים, שאורכיהם $a,b$ .

בין נקודות החלוקה, נעביר ישרים (ראה ציור).

קיבלנו מרובע, המוקף בארבעה משולשים.

ארבעת המשולשים חופפים למשולש המקורי, על-פי צלע-זוית-צלע ($a,b$ וזוית ישרה).

סכום הזויות החדות במשולש ישר-זוית הוא 90°. כל אחת מהזויות הישרות (למשל A) שווה ל-180° (זוית שטוחה), והיא מורכבת מהזויות החדות במשולש ישר-הזוית (סה"כ 90°) ומעוד זוית 90°, ולכן המרובע באמצע הוא מלבן.

בגלל החפיפה, כל צלעות מלבן זה שוות ל- $c$ , ולכן, הוא ריבוע, ושטחו $c^{2}$ .

נחשב את שטח הריבוע הגדול על-ידי ריבוע צלעו, ועל-ידי סיכום שטחי חלקיו, ונשווה בין התוצאות:

$(a+b)^{2}=4{\frac {ab}{2}}+c^{2}$

$a^{2}+b^{2}+2ab=2ab+c^{2}$

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$