מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/משולשים/משולש ישר-זווית ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
ריבוע שצלעו a+b

נתון: במשולש מסוים, אורכי הצלעות הן . הזוית בין הצלע שאורכה לצלע שאורכה ישרה.

צריך להוכיח:

בניית עזר: נבנה ריבוע שאורך צלעו , ונחלק כל צלע לשני חלקים, שאורכיהם .

בין נקודות החלוקה, נעביר ישרים (ראה ציור).

קיבלנו מרובע, המוקף בארבעה משולשים.

ארבעת המשולשים חופפים למשולש המקורי, על-פי צלע-זוית-צלע ( וזוית ישרה).

סכום הזויות החדות במשולש ישר-זוית הוא 90°. כל אחת מהזויות הישרות (למשל A) שווה ל-180° (זוית שטוחה), והיא מורכבת מהזויות החדות במשולש ישר-הזוית (סה"כ 90°) ומעוד זוית 90°, ולכן המרובע באמצע הוא מלבן.

בגלל החפיפה, כל צלעות מלבן זה שוות ל- , ולכן, הוא ריבוע, ושטחו .

נחשב את שטח הריבוע הגדול על-ידי ריבוע צלעו, ועל-ידי סיכום שטחי חלקיו, ונשווה בין התוצאות: