מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/מושג הגבול

סדרות

הגדרות

• קבוצה: אוסף של אברים. אין חשיבות לסדר הופעת האברים בקבוצה, כמו כן אין משמעות לאברים כפולים.

קבוצה יכולה להיות סופית (לדוגמא: קבוצת האותיות באלפבית) או אינסופית (לדוגמא: קבוצת המספרים הטבעיים).

• סדרה: סדרה היא קבוצה שבה יש חשיבות לסדר האברים. קיים בה אבר ראשון, שני וכד'. בסדרה יתכנו אברים כפולים כיון שהם נבדלים במיקומם בסדרה. נסמן סדרה באופן הבא: $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$ .

דרך נוספת להגדיר סדרה היא כפונקציה מהמספרים הטבעיים לאברי הסדרה.

דוגמאות לסדרות

• סדרת הטבעיים $1,2,3,\ldots$
• סדרת הזוגיים $2,4,6,\ldots$
• סדרת האי-זוגיים $1,3,5,\ldots$
• הסדרה ההרמונית $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots$

העשרה - גבול סדרה

נגדיר תחילה את מושג הגבול באופן אינטואיטיבי ולא פורמאלי. תהי $\{a_{n}\}$ סדרת מספרים ממשיים. נניח כי לסדרה קיים גבול. הגבול הוא למעשה מספר ממשי, לצורך הדיון, נניח שהגבול של הסדרה הנתונה הוא $4.51$ . לכל אבר בקבוצה ניתן לחשב את ה"מרחק" שלו מהגבול (הגדרה פורמאלית למושג המרחק תנתן בהמשך). מרחק הוא גודל אי-שלילי, נשתמש במספרים ממשיים אי-שליליים לציון ערכו של המרחק. ככל שהמספר גדול יותר , המרחק גדול יותר ולהפך. כעת נגדיר את הגבול באופן הבא: לכל מרחק שנבחר, קיים אבר בסדרה, אשר ממנו ואילך, המרחק בין אברי הסדרה והגבול קטן ממש מהמרחק שבחרנו.

אם נשתמש בדוגמא, נניח שבחרנו את המרחק להיות 3, נגדיר כעת את המרחק בין אברי הסדרה לגבול כערך המוחלט של ההפרש ביניהם. הגדרה זו תואמת לדרישות שלנו כיון שככל שההפרש גדול יותר המרחק גדול יותר וכמו כן הערך המוחלט מבטיח שהערכים הם אי-שליליים.

אז על-פי הגדרת הגבול, קיים אבר בסדרה, אשר ממנו ואילך, מרחק האברים בסדרה קטן ממש מ-3 כלומר ערכי האברים הללו, יהיו בין 7.51 ל-1.51 (לא כולל).

נגדיר כעת את מושג הגבול באופן פורמאלי.

• תהי $\{a_{n}\}$ סדרת מספרים ממשיים, ויהי $L$ מספר ממשי. $L$ יקרא הגבול של $\{a_{n}\}$ ויסומן באופן הבא $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ אם ורק אם לכל סביבה $\varepsilon$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|a_{n}-L|<\varepsilon$ . המשמעות הפשוטה של זה - עבור כל מרחק שניקח מהגבול, גם מרחקים קטנים מאוד, קיימת איזו נקודה בסדרה שהחל ממנה כל אברי הסדרה אינם רחוקים מהגבול יותר ממרחק זה.

אריתמטיקה של גבולות

• אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L_{1}$ ו- $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L_{2}$ , אז $L_{1}\pm L_{2}$ הוא גבול הסדרה $\{a_{n}\pm b_{n}\}$ ומסמנים $\lim _{n\to \infty }\{a_{n}\pm b_{n}\}=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}=L_{1}\pm L_{2}$ .