מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות

מהי משוואה ריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה בעלת הצורה $ax^{2}+bx+c=0$ כאשר נתון $a\neq 0$ ו- $a,b,c$ הם מספרים קבועים (יתכן והם יופיעו בצורה מפורשת - כלומר מספרים כמו 1 או 3 וגם יתכן שהם יופיעו בצורה פרמטרית, כלומר כאותיות, במקרה זה יש לשים לב שאנו מתייחסים אל האותיות הללו כמספרים קבועים ולא כנעלמים. אנו מחפשים את הערך של $x$ ולא של $a$ למשל). זו משוואה לא-לינארית (הנעלם מופיע בה בחזקה שניה).

למשוואה ריבועית יכולים להיות:

• שני פתרונות (כלומר שני מספרים שאם נציב אותם במקום $x$ נקבל פסוק שהוא אמיתי).
• פתרון אחד.
• אין אף פתרון (במספרים ממשיים) כלומר, אין אף מספר שניתן להציב במקום $x$ שעבורו נקבל פסוק אמת.

ניתן לפתור כל משוואה ריבועית או לפחות להגיע לקביעה שאין פתרון ממשי. הפתרון מתבסס על הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית שעליה נדבר בהמשך. הנוסחא היא הדרך הבטוחה לפתור כל סוג של משוואה ריבועית אך היא אינה הדרך הקצרה ביותר או הפשוטה ביותר. במקרים רבים קל יותר לנצל את הטרינום הריבועי על-מנת לפתור את המשוואה בדרך מהירה יותר. נדגים את שתי השיטות בהמשך על המשוואה הריבועית

$$x^{2}+5x-14=0$$

אך ראשית נסביר את הבעייתיות שמופיעה מרגע שנוספת חזקה שניה של הנעלם למשוואה.

לפני שנתחיל לעבוד על משוואה ריבועית עלינו לסדר אותה, כלומר להעביר את כל האברים לאגף אחד:

$$12x^{2}-4x+23=11x^{2}-3x+21\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x+2$$

מציאת פתרונות למשוואה ריבועית

פתרון על-ידי הוצאת שורש

כעת נדון בפעולה בעלת חשיבות רבה, אם כי, היא איננה פעולה מותרת במובן שהגדרנו. פעולה זו היא הוצאת שורש. בפעולה זו אנו מפעילים את הפעולה המתמטית של מציאת שורש ריבועי על שני אגפי המשוואה על-מנת למצוא את השורש של המספר. שיטה זו טובה רק במקרים מאוד מסוימים, אך הם מופיעים רבות.

ראשית, נזכיר מהו שורש ריבועי. שורש ריבועי הינו הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע כלומר, השורש של מספר הוא המספר שאותו, אם נעלה בריבוע נקבל את המספר המקורי. לפרטים נוספים חזור לפרק חזקות ושורשים.

עלינו לשים לב שכאן ישנו מלכוד משום שלמעשה ישנם שני מספרים שונים אשר יכולים להוות שורש של מספר אחר. למשל במקרה של המספר 81, המספרים $\pm 9$ שניהם יכולים להיות השורש. במתמטיקה נהוג לבחור באופן שרירותי את הפתרון החיובי אך במשוואות עלינו להיות מדויקים יותר, שכן גם $-9$ וגם $9$ הם שורשים של 81.

כיון שכך, עלינו לשים לב שבפעולת הוצאת השורש אנו לא מאבדים פתרונות. על כן, אם נתונה המשוואה:

$$x^{2}=81$$

הפתרון הוא:

$$x_{1,2}=\pm 9$$

ולא, כפי שתלמידים רבים טועים: $x=9$ .

פתרון על-ידי הטרינום הריבועי

נחזור למשוואה שהצגנו בראש העמוד. נתחיל את פתרון המשוואה בפירוק הטרינום לבינומים כפי שהוצג בפרק הטרינום הריבועי. לאחר חישוב מתקבל:

$$x^{2}+5x-14=(x+7)(x-2)$$

ביטוי זה אינו המשוואה שאנו מעונינים לפתור. זהו רק אגף שמאל שלה, אשר פרקנו לגורמים בעזרת פירוק טרינום. במשוואה המקורית כתוב שאגף ימין שווה ל-0 כלומר

$x^{2}+5x-14=0$

או במילים אחרות

$$(x+7)(x-2)=0$$

נמשיך בפתרון כפי שעשינו בפרק הקודם. נחלק את המשוואה למקרים.

1. $x+7=0\ \Rightarrow \ x_{1}=-7$
2. $x-2=0\ \Rightarrow \ x_{2}=2$

ואז הפתרון של המשוואה המקורית שלנו הוא:

$x_{1}=-7,x_{2}=2$

הנוסחא לפתרון משוואה ריבועית

נציג את הפתרון בדרך השניה, כלומר בעזרת הנוסחא. אם נתונה לנו משוואה מהצורה $ax^{2}+bx+c=0$ הפתרונות יתקבלו על-ידי: $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

זוהי נוסחה פשוטה יחסית שנותנת את הפתרון. נוסחה זו כוללת רק פעולות בסיסיות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש. יש נוסחאות דומות אך מסובכות הרבה יותר עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וקיימת הוכחה שאין נוסחה כללית שמבוססת רק על פעולות בסיסיות עבור משוואה ממעלה חמישית ומעלה.

נשתמש כעת בנוסחא זו על-מנת לפתור את המשוואה שפתרנו בעזרת הטרינום. במקרה זה $a=1,b=5,c=-14$ . נציב את הערכים הללו בנוסחא ונקבל:

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-5\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot (-14)}}}{2\cdot 1}}$$

כאן מפרידים לפלוס ולמינוס ומקבלים:

$${\begin{matrix}x_{1}={\dfrac {-5+{\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot (-14)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {-5+{\sqrt {25+4\cdot 14}}}{2}}={\dfrac {-5+{\sqrt {81}}}{2}}=2\\\\x_{2}={\dfrac {-5-{\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot (-14)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {-5-{\sqrt {25+4\cdot 14}}}{2}}={\dfrac {-5-{\sqrt {81}}}{2}}=-7\end{matrix}}$$

והגענו בדיוק לאותם פתרונות שהגענו בדרך של הטרינום. קל לראות שהדרך של הטרינום היא קצרה בהרבה מהדרך של הנוסחא אך זו נחמה פורתא משום שהדרך של הטרינום אינה עובדת בחלק נכבד מהמקרים ובמקרים אלו נאלץ להשתמש בשיטה של הנוסחא.

מומלץ מאוד ללמוד נוסחא זו בעל-פה שכן היא נוסחא בעלת חשיבות טכנית עליונה.

הוכחת פתרון המשוואה הריבועית

כדי להוכיח את נכונות פתרון המשוואה הריבועית נשתמש בטכניקת ה"השלמה לריבוע"

$$ax^{2}+bx+c=0$$

נחלק את המשוואה ב-$a$ ונקבל:

$$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$$

נחסר את הביטוי ${\frac {c}{a}}$ משני האגפים:

$$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$$

עכשיו נשתמש בהשלמה לריבוע ונהפוך את אגף שמאל לביטוי ריבועי:

$$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}x\right)=-{\frac {c}{a}}$$

וכדי להשלים את הריבוע סופית באגף שמאל נוסיף את הביטוי הריבועי $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$ לשני האגפים:

$$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}x\right)+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$$

עתה ניתן להפוך את אגף שמאל כולו לביטוי ריבועי פשוט (מוכר לכם?)

$$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$$

נפתח סוגריים באגף ימין:

$$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$$

ונכנס אברים באמצעות מכנה משותף:

$$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$$

כמעט סיימנו. נוציא שורש ריבועי משני האגפים:

$$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$$

כיון שביצענו פעולה של "הוצאת שורש" עלינו לשים לב שישנם שני פתרונות אפשריים. פתרונות אלו מסומנים בסימון $x_{1,2}$ ומתקבלים בעזרת הסימן $\pm$ כפי שהודגם בראש העמוד.

המכנה בשורש באגף ימין עובר פישוט ומצטמצם, ואילו המונה בשורש עומד בעינו, כך:

$$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$$

עתה, כל שעלינו לעשות הוא להחסיר ${\frac {b}{2a}}$ משני אגפי המשוואה כדי לבודד את $x_{1,2}$ :

$$x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$$

נכנס אברים במכנה משותף $2a$ , ונקבל כי

$$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

כנדרש.

בחינת הפתרונות האפשריים

נשים לב לביטוי :$b^{2}-4ac$ שמופיע מתחת לשורש בנוסחה הכללית. לביטוי זה חשיבות כה גדולה עד כי ניתן לו שם מיוחד: הדיסקרימיננטה של המשוואה ונהוג לסמן אותו באות היוונית $\Delta$ (דלתא). על פי ערכה של הדיסקרימיננטה ניתן לדעת כמה פתרונות יש למשוואה:

• אם $\Delta >0$ יש למשוואה שני פתרונות.
• אם $\Delta =0$ יש למשוואה פתרון יחיד.
• אם $\Delta <0$ אין למשוואה פתרונות במספרים ממשיים.

בעזרת שיטת הטרינום, לא ניתן לדעת בודאות שאין פתרון למשוואה כלל. על-מנת לדעת זאת, עלינו לנצל את הדיסקרימיננטה. נדון בנושא זה יותר לעומק בפרק חקירת משוואה ריבועית בהמשך.

משוואה ריבועית עם פרמטרים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

הפרמטרים הם האותיות במשוואה בנוסף לנעלמים x ו-y לדוגמא a ,m .

אך ניתן להתייחס אל פרמטרים אלה כמו אל נעלמים (X ו-Y).

לרוב במשוואות פרמטריות משתמשים בפירוק לגורמים,כשאר מבודדים את הנעלם (x.y)

ואת מה שנשאר מהפירוק מעבירם לצד השני במשוואה.

דוגמה למשוואה פרמטרית:

$x^{2}+mx=8$

$8=x(x+m)$ פירוק לגורמים

$x={\frac {8}{x+m}}$ מחלקים את הגורמים שפירקנו במספר שבצד השני כלומר העברנו אותו צד

משוואות ריבועיות עם שברים

השלבים לפתרון:

1. מציאת המכנה המשותף - במידה ויש במכנה משתנה יש לבדוק האם אפשר לפרק את המכנים לפי פירוק לגורמים.
2. חלוקת המכנה המשותף בכל מכנה בנפרד.
3. הכפלת התוצאה שהתקבלה במונה.
4. המשך התרגיל במטרה להגיע לצורה $ax^{2}+bx+c=0$
5. לאחר שקיבלנו את הצורה הנ"ל מציבים אותה בנוסחאת השורשים
6. קבוצת הצבה כאשר יש משתנה במכנה.

סימון

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

פתרון משוואה ריבועית לאחר סימון אחד הפרמטרים.

הפרק הקודם: הפעולות המותרות

משוואות ריבועיות תרגילים

הפרק הבא: משוואות עם שברים