מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/לוגריתמים/תרגילים

חישוב לוגריתמים

$\log _{2}32$

פתרון

$\log _{2}32=5$ כי $2^{5}=32$

$\log _{2}{\frac {1}{16}}$

פתרון

$\log _{2}{\frac {1}{16}}=\log _{2}1-\log _{2}16=0-4=-4$

$\log _{32}16$

פתרון

נזכור כי $2^{4}=16,2^{5}=32$ ונראה ש- $\log _{32}16={\frac {\log _{2}16}{\log _{2}32}}={\frac {4}{5}}$

$\log _{10}{\sqrt[{5}]{0.01}}$

פתרון

$\log _{10}{\sqrt[{5}]{0.01}}=\log _{10}(0.01)^{\frac {1}{5}}={\frac {1}{5}}\log _{10}0.01={\frac {1}{5}}\log _{10}{\frac {1}{100}}={\frac {1}{5}}\cdot (-2)=-{\frac {2}{5}}$

$\log _{\sqrt {2}}{\frac {8}{\sqrt {2}}}$

פתרון

$\log _{\sqrt {2}}{\frac {8}{\sqrt {2}}}=\log _{\sqrt {2}}8-\log {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}{\sqrt {2}}}}-1={\frac {3}{0.5}}-1=6-1=5$

$\log _{10}2+\log _{10}5$

פתרון

$\log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}(2\cdot 5)=\log _{10}10=1$

ביטוי לוגריתמים על פי לוגריתמים אחרים

נתון: $\log _{2}3=a$. הבע בעזרת a את הביטויים הבאים:

א. $\log _{2}81$

פתרון א'

$\log _{2}81=\log _{2}3^{4}=4\log _{2}3=4a$

ב.$\log _{2}6$

פתרון ב'

$\log _{2}6=\log _{2}(3\cdot 2)=\log _{2}3+\log _{2}2=a+1$

ג. $\log _{2}(108)$

פתרון ג'

נפרק את 108 לגורמים ראשוניים: $108=2\cdot 54=2\cdot (2\cdot 27)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2^{2}\cdot 3^{3}$ כעת: $\log _{2}108=\log _{2}(2^{2}\cdot 3^{3})=\log _{2}(2^{2})+\log _{2}(3^{3})=2+\log _{2}(3^{3})=2+3\log _{2}3=2+3a$

ד.$\log _{2}{\frac {2}{3}}$

פתרון ד'

$\log _{2}{\frac {2}{3}}=\log _{2}2-\log _{2}3=1-a$

ה. $\log _{2}{\frac {3}{8}}$

פתרון ה'

$\log _{2}{\frac {3}{8}}=\log _{2}3-\log _{2}{8}=a-3$

ו. $\log _{2}{\sqrt[{7}]{12}}$

פתרון ו'

$\log _{2}{\sqrt[{7}]{12}}=\log _{2}12^{\frac {1}{7}}={\frac {1}{7}}\log _{2}3\cdot 4={\frac {1}{7}}\left(\log _{2}3+\log _{2}4\right)={\frac {1}{7}}\left(a+2\right)$

ז.$\log _{4}3$

פתרון ז'

$\log _{4}3={\frac {\log _{2}3}{\log _{2}4}}={\frac {a}{2}}$

ח.$\log _{3}2$

פתרון ח'

$\log _{3}2={\frac {\log _{2}2}{\log _{2}3}}={\frac {1}{a}}$

ט.$\log _{2}18$

פתרון ט'

$\log _{2}18=\log _{2}3^{2}\cdot 2=\log _{2}3^{2}+\log _{2}2=2\log _{2}3+1=2a+1$

---

נתון: $\log 1000m^{7}=c$ (הערה: בתרגיל זה, חד פעמית, אם לא נכתוב את בסיס הלוגריתם, זה אומר שהבסיס הוא 10). הבע באמצעות c את הביטויים הבאים:

א. $\log m^{3}$

פתרון

ראשית כל, נרצה למצוא את הקשר בין $\log m$ ל- c.
עפ"י הנתון מתקיים: $\log 1000m^{7}=c$ ולכן $c=\log 1000m^{7}=\log 1000+\log m^{7}=4+7\log _{m}$
לכן נסיק ש- $\log m={\frac {c-4}{7}}$. מכאן, אפשר לפתור את כל התרגילים. לדוגמה א':
$\log m^{3}=3\log m=3\cdot {\frac {c-4}{7}}={\frac {3c-12}{7}}$

ב. $\log 100m$

ג. $\log 10m^{4}$

ד. $\log {\frac {100}{m^{5}}}$

ה. $\log(10{\sqrt[{3}]{m}})$