מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/לוגריתמים

בסיס ומעריך

בפעולת החזקה יש 3 מרכיבים: הבסיס (המספר אותו מעלים בחזקה), המעריך (כמות הפעמים לפיה כופלים את הבסיס בעצמו) וכמובן, התוצאה.

• בהינתן בסיס ומעריך, כדי לחשב את התוצאה אנו מפעילים את פעולת החזקה. לדוגמא:

הבסיס: 5. המעריך: 3.

התוצאה: $5^{3}=5\cdot 5\cdot 5=125$ .

אם ידועה התוצאה, וידוע רק הבסיס או רק המעריך, ניתן גם כן לגלות את המספר השלישי. יש לנו שמות שונים לשתי הפעולות שיש לבצע:

• בהינתן המעריך והתוצאה, אנו משתמשים בפעולת השורש. לדוגמא:

המעריך: 3. התוצאה: 8.

התוצאה: ${\sqrt[{3}]{8}}=2$

הערה: בפעולת השורש אין הכוונה דווקא לפעולת הוצאת שורש ריבועי, אלא להוצאת שורש מסדר כללי.

• בהינתן הבסיס והתוצאה, אנו משתמשים בפעולת הלוגריתם. לדוגמא:

הבסיס: 3. התוצאה: 9.

המעריך: $\log _{3}(9)=2$ .

פעולת הלוגריתם היא זו שתעניין אותנו בפרק הזה.

הגדרת הלוגריתם

הלוגריתם הוא פעולה הפוכה לחזקה, בדומה לשורש. הבדל הוא ששורש הוא פעולה הפוכה לחזקה ממעלה שנייה לעומת הלוגריתם שהוא פעולה הפוכה עבור כל חזקה.

$a^{b}=x\iff \log _{a}x=b$ במילים אחרות אם $b$ הוא מעריך בבסיס $a$ ($a^{b}$), הפעולה ההפוכה מסומנת $\log _{a}(b)$ .

לדוגמא, $\log _{3}(729)=6$ משום ש- $3^{6}=729$ .

איך מבצעים את פעולת הלוגריתמים במחשבון?

ישנם מספר לוגריתמים שימושיים במיוחד. דוגמא אחת היא הלוגריתם מבסיס 10, שבמחשבונים מופיע כ- $\log$ . לוגריתם זה נוח לשימוש כי ביומיום משתמשים בעיקר בבסיס 10.

דוגמה נוספת בעלת חשיבות רבה במתמטיקה הוא הלוגריתם הטבעי, $\ln$ (מבוטא לָן), שהוא לוגריתם על בסיס הקבוע המתמטי של המספר $e\approx 2.71828$ .

ברוב המחשבונים המדעיים הנפוצים כיום ניתן לבצע פעולה לוגריתמית בקלות גם ליתר הבסיסים - באמצעות כפתור המאפשר הצבה של ערכים בלוגריתם. מי שהמחשבון שלו לא תומך באפשרות הזו יצטרך להשתמש בחוקי הלוגריתמים - מעבר בין בסיסים.

תחום הגדרה

בפעולת הלוגריתם קיים תחום הגדרה לבסיס הלוגריתם $a$ ולמספר $x$ עבורו מבוצע הלוגריתם:

1. בסיס הלוגריתם:
   • בסיס הלוגריתם חייב להיות חיובי ושונה מ-1, שכן אם $a=1$ אז נסתכל על $\log _{a}(b)=\log _{1}(b)=x$ . מתקיים אז עפ"י ההגדרה ש- $1^{x}=b$ . אבל $1^{x}=1$ לכל $x\in \mathbb {R}$ , ולכן זה בלתי-אפשרי! אם $b=1$ אז זה אפשרי אבל אז יש אינסוף אפשרויות כי כל $x$ יתאים. כיון שכך, אין משמעות ללוגריתם בבסיס 1.
   • כמו כן לא תמיד יהיה פתרון ללוגריתם בו הבסיס הוא שלילי. לדוגמא: $\log _{-2}(5)$ . לכן לא נהוג להגדיר לוגריתם עם בסיס שלילי.
2. המספר שבתוך הלוגריתם: כיון שבסיס הלוגריתם חיובי, חייב המספר שאותו מעבירים ללוגריתם להיות חיובי גם כן (העלאה בכל חזקה שהיא של מספר חיובי נותנת תוצאה חיובית).

סיכום

אם $\log _{a}(x)=b$ אז:

${\begin{matrix}0<a\neq 1\\x>0\\b\in \mathbb {R} \end{matrix}}$

הערות

• לא נהוג לכתוב ${\big (}\log _{a}(x){\big )}^{2}$ אלא $\log _{a}^{2}(x)$ (בדומה, אגב, לפונקציות הטריגונומטריות - סינוס, קוסינוס וכו').

מקורות

• פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (פורטל עובדי הוראה, משרד החינוך)

הפרק הקודם: אינדוקציה מתמטית

לוגריתמים תרגילים

הפרק הבא: בעיות גידול ודעיכה