מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל הקצר

דוגמה 1

נפרק לגורמים את $a^{2}+2ab+b^{2}\,$

$a^{2}+2ab+b^{2}=\,$

על פי נוסחאות הכפל מקוצר:

$(a+b)^{2}\,$

הגורמים הם: $(a+b)^{2}\,$ זאת אומרת שהגורמים הם $(a+b)\,$ ו- $(a+b)\,$.

דוגמה 2

נפרק לגורמים את $4a^{2}-12a+9\,$ :

${\begin{aligned}&\underbrace {4} _{2^{2}}a^{2}-12a+9=\\&2^{2}a^{2}-12a+9=\\\end{aligned}}$

על פי חוקי חזקות:

${\begin{aligned}&(2a)^{2}-12a+(3)^{2}=\\&(2a)^{2}-2\cdot 2\cdot 3\cdot a+(3)^{2}=\\\end{aligned}}$

על פי חוק החילוףוחוק הקיבוץ:

$(2a)^{2}-2\cdot (2a)\cdot 3+(3)^{2}=\,$

על פי נוסחאות כפל מקוצר

$(2a-3)^{2}\,$

הגורמים הם: $(2a-3)^{2}\,$ זאת אומרת שהגורם $(2a-3)\,$ מופיע פעמיים במכפלה $4a^{2}-12a+9\,$.

דוגמה 3

פרק לגורמים את $a^{4}-1\,$

פתרון:

$a^{4}-1=\,$

$4=2\cdot 2\,$

$a^{2\cdot 2}-1=\,$

על פי חוקי חזקות ומכיוון ש $1=1^{2}\,$

$(a^{2})^{2}-1^{2}=\,$

על פי כפל מקוצר:

$(a^{2}-1)(a^{2}+1)\,$

שימו לב! ניתן לפרק גם את $(a^{2}-1)\,$! נמשיך במלאכת הפירוק:

$(a^{2}+1)(a^{2}-1)=\,$

מכיוון ש $1=1^{2}\,$:

$(a^{2}+1)(a^{2}-1^{2})=\,$

על פי כפל מקוצר:

$(a^{2}+1)(a+1)(a-1)\,$

הגורמים הם: $(a^{2}+1)\,$, $(a+1)\,$ ו- $(a-1)\,$.