משוואות דיפרנציאליות רגילות/סיכום משפטי קיום ויחידות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 מד"ר לינארית מסדר ראשון
2 מד"ר כללית מסדר ראשון
3 מערכת מד"ר לינאריות
4 טורי חזקות למד"ר לינארית

[עריכה] מד"ר לינארית מסדר ראשון

משפט: קיום ויחידות (מד"ר לינארית מסדר 1)

יהיו $\ f(x),\ g(x)$ פונקציות רציפות בקטע הפתוח $\ (\alpha,\beta)$ ותהי נקודה $\ x_0 \in (\alpha,\beta)$ כך ש- $\ y(x_0)=y_0$ . אזי למשוואה $\ y'(x) + f(x)y(x) = g(x)$ יש פתרון אחד ויחיד בקטע $\ (\alpha,\beta)$ המקיים את תנאי ההתחלה הנתון ב- $\ x_0$ .

[עריכה] מד"ר כללית מסדר ראשון

משפט: קיום ויחידות (מד"ר כללית מסדר 1)

תהי בעית תנאי התחלה מהצורה: $\ \left\{\begin{matrix} y'(x) & = & f(x,y) \\ y(x_0) & = & y_0 \end{matrix}\right.$ . אזי אם $\ f(x), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ רציפות במלבן $\ \left\{\begin{matrix} |x-x_0| &\le& a,\\ |y-y_0| &\le& b \end{matrix}\right.$ (כאשר a,b קבועים כלשהם) אזי קיים קבוע h כך שבקטע $\ |x-x_0| \le h$ קיים פתרון אחד ויחיד. בפרט: קיים פתרון אם $\ f(x,y)$ רציפה, והפתרון יחיד אם $\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ רציפה.

[עריכה] מערכת מד"ר לינאריות

משפט: קיום ויחידות (מערכת מד"ר לינאריות)

תהי מערכת מהצורה $\ \underline y^\prime = {\underline{\underline A}}\cdot \underline y + \underline b$ עם תנאי התחלה $\ \underline y(x_0) = \underline y_0$ , ויהיו $\ a_{i,j}(x),\ b_i(x)$ הרכיבים של $\ {\underline{\underline A}}(x),\ \underline b(x)$ בהתאמה. אזי אם $\ a_{i,j}(x),\ b_i(x)$ רציפות בקטע הפתוח $\ (\alpha,\beta)$ כך ש- $\ \alpha < x_0 < \beta$ אז למערכת יש פתרון אחד ויחיד בקטע $\ (\alpha,\beta)$ .

[עריכה] טורי חזקות למד"ר לינארית

משפט: קיום ויחידות (טורי חזקות למד"ר לינארית)

תהי בעית תנאי התחלה מהצורה: $\ \left\{\begin{matrix} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+ a_n(x)y & = & b(x) \\ y(x_0) =y_0,..., y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1} &\ &\ \end{matrix}\right.$ . אם המקדמים $\ a_i(x), b(x)$ הם אנליטיים בתחום $\ |x-x_0|<\rho$ כלשהו, אזי קיים פתרון אחד ויחיד בתחום זה.

משוואות דיפרנציאליות רגילות/סיכום משפטי קיום ויחידות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] מד"ר לינארית מסדר ראשון

[עריכה] מד"ר כללית מסדר ראשון

[עריכה] מערכת מד"ר לינאריות

[עריכה] טורי חזקות למד"ר לינארית

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא