חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

דרך נוחה מאוד לציון סכומים בה משתמשים רבות בלימודי החשבון האינפיניטסימלי היא באמצעות סימן הסכימה, הוא האות היוונית $Σ$ (סיגמה גדולה). משתמשים בו בסדרות אינסופיות, טורים, חישובי אינטגרלים כגבולות של סכומי רימן ועוד.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 כללים לשימוש בסימן הסכימה
3 זהויות ידועות
4 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגדרה

סימן הסכימה מוגדר באופן הבא: אם $a_m ,a_{m + 1} ,\dots,a_n$ הם מספרים ממשיים והמספרים $m, n$ הם שלמים כך שמתקיים $m \le n$ , אזי נכתוב:

$\sum\limits_{i = m}^n {a_i } = a_m + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_n$

לפיכך, הסימן $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i }$ הוא סימן לסכימה בה האות i (אינדקס הסכימה) מקבלת ערכים שלמים עוקבים המתחילים ב- $m$ ומסתיימים ב- $n$ , כלומר: $m,m + 1,\dots,n$ . מובן שאין חובה להשתמש דווקא באות $i$ כאינדקס הסכימה. ניתן להשתמש בסימן הסכימה כדי לסכם ערכי פונקציות, סדרות ועוד.

דוגמה 1:

$\sum\limits_{p = 3}^7 {\frac{1}{{2^p }}} = \frac{1}{{2^3 }} + \frac{1}{{2^4 }} + \frac{1}{{2^5 }} + \frac{1}{{2^6 }} + \frac{1}{{2^7 }} = \frac{{31}}{{128}}$

דוגמה 2:

רשום את הסכום $5^3 + 5^4 + 5^5 + \dots + 5^n$ תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך ייחודית כלשהי. שתיים מהדרכים הן:

$5^3 + 5^4 + 5^5 + ... + 5^n = \sum\limits_{i = 3}^n {5^i } = \sum\limits_{i = 1}^{n - 2} {5^{i + 2} }$

[עריכה] כללים לשימוש בסימן הסכימה

הכללים הבאים הם כללים פשוטים שעוזרים לנו לעבוד עם סימן הסכימה ביתר פשטות:

כלל 1: $\sum\limits_{i = m}^n {ca_i } = c\sum\limits_{i = m}^n {a_i }$

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: $ca_m + ca_{m + 1} + \dots + ca_n = c\left( {a_m + a_{m + 1} + \dots + a_n } \right)$ ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

כלל 2: $\sum\limits_{i = m}^n {\left( {a_i \pm b_i } \right)} = \sum\limits_{i = m}^n {a_i } \pm \sum\limits_{i = m}^n {b_i }$

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: $\left( {a_1 \pm b_1 } \right) + \left( {a_2 \pm b_2 } \right) + \dots + \left( {a_n \pm b_n } \right) = \left( {a_1 + a_2 + \dots + a_n } \right) \pm \left( {b_1 + b_2 + \dots + b_n } \right)$ ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

[עריכה] זהויות ידועות

הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי $c$ קבוע ויהי $n$ מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

זהות 1: $\sum\limits_{i = 1}^n c = nc$ .

זהות 2: $\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האיברים בסדרה הוא 1.

זהות 3 (הנוסחה לסכום ריבועים): $\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$

זהות 4: $\sum\limits_{i = 1}^n {i^3 } = \frac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4}$

זהות 5: $\sum\limits_{i = 1}^n {x^i } = \frac{{x\left( {x^n - 1} \right)}}{{x - 1}}$

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת איבריה היא $x$ .

זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה $i = 1$ מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל $i = m$ כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על $n$ .

דוגמה: חשב את $\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 \left( {2i - 1} \right)}$ (הבע באמצעות $n$ )

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

$\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 \left( {2i - 1} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2i^3 - i^2 } \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2i^3 } \right)} - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i^2 } \right)} = 2\sum\limits_{i = 1}^n {i^3 } - \sum\limits_{i = 1}^n i^2 =$

$= 2 \cdot \frac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4} - \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} = \frac{{3n^2 \left( {n + 1} \right)^2 - n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} =$

$= \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {3n\left( {n + 1} \right) - \left( {2n + 1} \right)} \right)}}{6} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {3n^2 + 3n - 2n - 1} \right)}}{6} =$

$= \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {3n^2 + n - 1} \right)}}{6}$

וזוהי התשובה.

[עריכה] קישורים חיצוניים

תרגילים (עם פתרונות מלאים) בשימוש בסימן הסכימה (מומלץ)

חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] כללים לשימוש בסימן הסכימה

[עריכה] זהויות ידועות

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא