חשבון/סדר פעולות החשבון/איחוד

מבוא לספר

כאשר אנו נתקלים בתרגיל מתמטי שיש בו סוג אחד בלבד של פעולה, למשל: $\ 4+5+2=?$, אנו מחשבים אותו בסדר בו נכתב: ראשית אנו מבצעים את הפעולה $\ 4+5$ ומקבלים $\ 9$, ולאחר מכן אנו מבצעים את הפעולה $\ 9+2$ ומקבלים $\ 11$.
לעיתים, כאשר אנו נתקלים בתרגיל המשלב מספר פעולות, עדיין נוכל לבצע אותן לפי סדר כתיבתן. למשל, את התרגיל $\ 2+44-3=?$, המשלב בתוכו גם פעולת חיבור וגם פעולת חיסור, נוכל לבצע לפי הסדר: $\ 2+44=46$, ולאחר מכן $\ 46-3=43$.

לעומת זאת, נניח שאנו נתקלים בתרגיל הבא: $\ 2+44-3*5$. במקרה כזה, לא נוכל לחשב את התרגיל לפי הסדר שבו הוא כתוב, אלא לפי סדר מיוחד. אותו סדר מיוחד נקרא "סדר פעולות החשבון", ואותו נלמד בספר זה.

הסדר של 4 פעולות החשבון הבסיסיות

נחזור לתרגיל הדוגמה הרשום למעלה: $\ 2+44-3*5=?$. בתרגיל זה, משתתפות שלוש פעולות:

פעולת החיבור +
פעולת החיסור -
ופעולת הכפל *
אם נפתור את התרגיל כפי שהוא כתוב, משמאל לימין, נקבל: $\ 2+44=46$. נמשיך עם תוצאה זו: $\ 46-3=43$. נמשיך עם תוצאה זו, ונקבל: $\ 43*5=215$.
כלומר, בפתרון הפשוט, משמאל לימין, תוצאת התרגיל תהיה 215. אבל זו אינה התוצאה הנכונה! - כי התרגיל לא חושב בסדר הפעולות הנכון! אם נחשב אותו בסדר הפעולות הנכון, הרי שנקבל 31.
$\ \star$ איך הגענו ל-31?
ניזכר בהגדרת פעולת הכפל: נזכור שמדובר, למעשה, בקיצור של פעולת החיבור. נתבונן בתרגיל $\ 3*5$: במילים נוכל להגיד "שלוש כפול חמש" או "חמש פעמים שלוש". המשמעות המילולית של "חמש פעמים שלוש" היא פשוטה מאוד: קחו את המספר שלוש חמש פעמים, כלומר בצעו את הפעולה: $\ 3+3+3+3+3$. נניח כעת שנו רוצים לקחת את המספר 46, ולהפחית ממנו חמש פעמים שלוש. אז נוכל לכתוב בדרך הארוכה: $\ 46-3-3-3-3-3$, או שנוכל לכתוב בדרך הקצרה: $\ 46-5*3$.
כפי שניתן לראות מדוגמה זו, פעולת הכפל קודמת לפעולת החיסור. הדבר נובע, כאמור, מהגדרת הכפל.
בצורה דומה, פעולת הכפל קודמת גם לפעולת החיבור. חיבור וחיסור, לעומת זאת, נמצאים באותה "רמה" - אין קדימות לאף אחת מהפעולות, לכן אם אנו נתקלים בתרגיל שיש בו חיבור וחיסור עלינו לפתור אותו לפי הסדר.

נחזור לתרגיל הרשום למעלה: $\ 2+44-3*5=?$. הפעולות שמשתתפות בתרגיל זה הן חיבור, חיסור וכפל. לפי מה שלמדנו עד עכשיו, נתחיל בביצוע פעולת הכפל: $\ 3*5=15$, ועכשיו התרגיל שלנו יראה כך: $\ 2+44-15=?$. תרגיל זה מכיל את הפעולת חיבור וחיסור, שהן פעולות בעלות אותה קדימות. לכן, נבצע אותו לפי הסדר בו הוא רשום: $\ 2+44=46$, ולבסוף $\ 46-15=31$. וכך אנו מגיעים לתוצאה הנכונה.

מה עם פעולת החילוק ? מכיוון שחילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, גם היא תקדם לחיבור וחיסור. לעומת זאת, אם ניתקל גם בכפל וגם בחילוק באותו תרגיל, נוכל לפתור אותו לפי הסדר הרגיל. למשל: את התרגיל $\ 5*6/3*2=?$ נוכל לפתור לפי הסדר: $\ 5*6=30$, לאחר מכן $\ 30/3=10$, ולבסוף - $\ 10*2=20$.

כדאי לדעת: ניתן לדעת אם שתי פעולות הן בעלות קדימות שווה לפי השאלה האם ניתן להחליף את הסדר ביניהן ולקבל את אותה התוצאה.

למה הכוונה? נתבונן בתרגיל: $\ 4+5-3$. נוכל לפתור אותו בשתי דרכים:
1. לפי הסדר:$\ 4+5=9$ ואח"כ $\ 9-3=6$.
2. לא לפי הסדר: $\ 5-3=2$ ולאחר מכן $\ 4+2=6$. בכל מקרה, נקבל את אותה התוצאה.
נתבונן כעת בתרגיל: $\ 1+2*3$. אז אם נפתור אותו לפי הסדר, נקבל: $\ 1+2=3$, ואז $3*3=9$. לעומת זאת, אם נפתור אותו בסדר שונה, נקבל: $\ 2*3=6$, ואז $\ 1+6=7$. קיבלנו תוצאה שונה, לכן קיבלנו גם רמז לכך שיש לנו פעולות בעלות קדימות שונה.

את מה שלמדנו עד כה ניתן לייצג בגרף פירמידה, כאשר מה שגבוה יותר הוא בעל קדימות גבוהה יותר:

עד כאן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. מה עם חזקה ושורש?

חזקות ושרשים

ניזכר בהגדרת החזקה: חזקה הינה קיצור לפעולת כפל בה כל האיברים זהים (למשל: $\ 2^{4}=2*2*2*2$), ממש כפי שכפל הינו קיצור לפעולת החיבור בה כל האיברים זהים. לכן, כפי שכפל קודם לחיבור (ולחיסור), כך חזקה קודמת לכפל (ולחילוק).
הוצאת שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה, ממש כפי שחילוק היא הפעולה הפוכה לכפל. לכן, גם פעולת הוצאת השורש השורש קודמת לכפל ולחיבור.
אז בינתיים, הפירמידה שלנו נראית כך:

ומה אם אנחנו רוצים שהחיבור יהיה קודם?

הסוגריים

כדי שפעולה או פעולות אחרות תחושב קודם משתמשים בסוגרים
לדוגמא:4*8-(3+2)=? פותרים 5=3+2 32=8*4 27=32-5
עכשיו אפשר לכתוב בפנים כמה פעולות
לדוגמא 2*4/(7+[2-{4+2}*{3*2}])-(5*+4) פותרים קודם את הסוגרים הפנימים ביותר כששמים סוגריים ישנו סדר מסוים
הסוגריים החיצונים ביותר תמיד יהיו ()
בתוכם[]
בתוכם{}
בתוכם סוגריים מרובעים כפולים וכן הלאה

הפירמידה נראית כך

הפירמידה הגמורה