- משפט
תהי
פונקציה רציפה בקטע הסגור
וגזירה בקטע הפתוח
. אזי קיימת נקודה
עבורה
.
- הוכחה ישירה
תהי
משוואת הישר העובר בנקודות
, רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה
.
נגדיר פונקציה נוספת
, רציפה בקטע
כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע
כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת
.
מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה
עבורה
:
![{\displaystyle h'(c)=f'(c)-y'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\quad \Rightarrow \quad f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0aa61fd9f4930df0ae7cb21d319fc01992d5668)
- הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי
משפט הערך הממוצע של קושי מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.
אם
רציפות בקטע
, גזירות בקטע
ומתקיים
לכל
, אזי קיימת נקודה
עבורה
.
היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל:
![{\displaystyle {\frac {f'(c)}{1}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d62ef876dc9071ee0453b528b67760f27bf5b9)