לדלג לתוכן

אלגברה לינארית/מכפלת מטריצות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

כפל מטריצות

[עריכה]

הגדרה 1: מכפלת מטריצות

תהא , ותהא (מספר השורות של מטריצה שווה למספר העמודות של מטריצה , ראה דוגמה). נסמן את העמודות של מטריצה ב־ אז המטריצה ועמודותיה תהינה או לחילופין .

דוגמה לגודלה של מרטיצה המתקבלת מכפל שתי מטריצות. אם מספר העמודות של שונה ממספר השורות של , הכפל לא מוגדר. נשם לב על פי הגדרה של מכפלת המטריצות, מאחר שיש לנו מטריצה בגודל ומטריצה אז נקבל מטריצה בגודל



דוגמה 1: כפל מטריצות

נדגים כפל עמודה עמודה. תהי בגודל ולכן מטריצה מוכרחת להיות בעלת עמודות בגודל 2. תהי

אזי

מכאן

לחילופין, ניתן לבצע סכום של שורה כפול כפול עמודה:

אזי :

אז

כפי שניתן לראות כפל מטריצות אינו קומוטטיבי, . כאשר אז נקראות "מתחלפות".


האיבר במיקום ה־

[עריכה]

הגדרה 2: האיבר במיקום ה־

תהא , ותהא אז המטריצה

כאשר האיבר במיקום ה־ הינו



דוגמה 3: ערך האיבר במיקום ה־

אז מאחר ש־ השורה השניה () ובעמודה השלישית () במטריצה שלנו,


סיכום

[עריכה]

הגדרה 6: כפל מטריצות

כפל מטריצות בין מטריצה ,מטריצה מסומן כ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין אם כופלים מצד שמאל, הכפל מוגדר רק כאשר אם מסדר , אז מסדר , כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.

כאשר הכפל מוגדר, כלומר כאשר , האיבר במקום ה במטריצה , יהיה מוגדר כ, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.


דוגמא: אזי מתקיים .