ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו אברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמא, . היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.
הגדרה: בהינתן קבוצות ואברים בהם בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
- טענה
אם ורק אם וגם
- הוכחה
כיוון ראשון, נניח שמתקיים
לכן, יש שוויון בין הקבוצות
לכן
- או
כיון שבאחת יש 2 אברים (אם לא, אז במקרה הטענה נכונה בהכרח), בהכרח.
מכאן
ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים כנדרש.
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים
כלומר יש חשיבות לסדר.
המכפלה הקרטזית[עריכה]
כעת נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות קבוצה חדשה, שתיקרא המכפלה הקרטזית של והיא מסומנת ומוגדרת כדלהלן:
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאבר הראשון שלהם הוא מ- והאבר השני שלהם הוא מ- .
- נסתכל על הקבוצות אזי נקבל כי:
- כאשר אותן קבוצות מהדוגמא הקודמת, נקבל כי:
הכללה למספר סופי של קבוצות[עריכה]
בהינתן קבוצות נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה בעצמה פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות .
מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.
תכונות של המכפלה הקרטזית[עריכה]
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך-כלל לא יתקיים כאשר קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל: