מרחב ההסתברות[עריכה]
מרחב ההסתברות הוא שלשה:
נקראת "מרחב המדגם", F היא אוסף של תת קבוצות שהן "סיגמא-אלגברה" ו-P היא פונקציית ההסתברות.
הגדרה: סיגמא אלגברה היא אוסף F של תתי קבוצות מקבוצה
המקיים:
![{\displaystyle \emptyset \in F,\Omega \in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d96af4e054c3de26cd8b81e9c74af694a6f48cb)
- אם
אז ![{\displaystyle A^{c}\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b99b528e07dec5c77e16fb5a4c810fec3d302be)
- אם
אז ![{\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }\in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a64460c00b2d8ea1d5c587a3c0586b7a1bd52fa)
טענות:
- אם
אז ![{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71229284046794667a60af6e2226dc31b138b16e)
- אם
אזי ![{\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }\in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216103692be1ebaf57f5ebde88d3bd3502491665)
- אם
אז ![{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c1f1948f9753ce90e4195f84202e53143013f8)
עובדות:
- אם
אז ![{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd2dba51b91211deefc7792764a3be0b45fc3a0)
- אם
אז ![{\displaystyle P(A)\leq P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f3576ca8aa41671d8d6ebc4145113e2e5ccc17)
הגדרה: התפלגות אחידה - תהי
מרחב מדגם סופי. התפלגות אחידה של
היא מרחב הסתברות כאשר
, ולכל
מרחבי הסתברות רציפים[עריכה]
דוגמא: בחירה של נקודה אקראית ההמוגרלת באופן אחיד בקטע [0,1].
מרחב המדגם: [0,1].
אוסף המאורעות: הסיגמא אלגברה המינימלית המכילה את כל הקטעים ב [0,1].
מהי ההסתברות P? לכל קטע [a,b] המקיים
ההסתברות היא:
תהי
מהי
?
טענה:
מכאן קיים
.
. לכן:
לכל אפסילון ומכאן שווה ל-0.
משפט: קיימת הרחבה יחידה של P ל- F. כלומר, קיימת פפונקציה יחידה
שגם היא מקיימת את הדרישות מהשיעור הקודם וגם מקיימת שלכל קטע
,
דוגמא: נטיל מטבע הוגן. אם יצא עץ, נבחר נקודה בקטע [0,2/3], אם יצא פאלי נבחר נקודה בקטע [2/3,1].
מהי P? יהי [a,b] קטע אזי:
אם b<=2/3 אז:
אם a>=2/3 אז: ![{\displaystyle P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{1/3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4e26a18b82f278d5691dcc39a1633463d7a1a5)
אם a>2/3<b אז:
נראה שעבור כל נקודה ההסתברות זהה בשתי הדוגמאות אבל פונקציית ההסתברות שונה. מכאן פונקציית ההסתברות לא נקבעת באופן יחיד עבור הערך בכל נקודה. אם מרחב המדגם סופי- כן נקבעת.