תולדות המתמטיקה

זוהי מחברת הקורס "תולדות המתמטיקה" (80402) בסמסטר ב' שנה"ל תשס"ה, כפי שהועבר על ידי פרופ' אהוד הרושובסקי, באוניברסיטה העברית

‏שיעור 1 - ט"ו אדר א תשס"ה, ‏24 פברואר 2005

בשיעור הראשון נסתכל על המתמטיקה העתיקה של היוונים וננסה להבין כיצד הם הבינו את הדברים. לצערנו אין לאף אחד את הכלים המתאימים: הקשר תרבותי, שפה, ההוויה וכן הלאה. בקורס כזה יש להיזהר ממספר טעויות שחוזרות בקורסים מסוג זה, דוגמת "היו פעם אנשים והם ידעו פחות". אנשים ידעו דברים אחרים שהתפתחו מאז למה שאנו יודעים. הטעות השנייה, היא בדיוק בכיוון ההפוך: "אין דרך להבין אנשים", "מהפיכה משמעותה החלפת כל המושגים והפסקת המאמצים לענות על השאלות הישנות". בהיסטוריה של המדע הטעויות הללו נראות אבסורדיות וגם בארזים נפלה שלהבת. לדוגמה: גאוס בנה מצולע בעל 17 צלעות, בעוד היוונים לא הצליחו לעשות זאת, אבל בהחלט הם יכלו להבין את ההוכחה של גאוס. הסיבה הייתה שהרעיונות לא התקיימו בזמנם.

בקורס זה ננסה להשתמש בכלים הקיימים כיום כדי להבין את הבעיות כפי שנראו בעתים קדומים יותר. חלק מהבעיות יהיו יותר נגישות עבורנו וחלק פחות. ננסה כן להשתמש באינטואיציות של המתמטיקה המודרנית, אבל ננסה להבין איך הם הבינו את זה. מדובר פה ביחס תרגום לא טריוויאלי (לדוגמה: המסקנות מתורת גלואה על בנייה בסרגל ומעגל).

אחד הדברים שבהם לא נעסוק הוא הסיפור של הרגרוזיציה המתמטית. אנו כן נזכיר זאת ככלי שיפוט של ההוכחות הישנות. הספר "יסודות הגיאומטריה" של אוקלידס נחשב ליצירת מופת בכל הקשור לחומרה בה נשפטות הוכחות מתמטיות. מאז ...

הסיבה שאנו לא נעסוק במקצוע הזה היא שהתואר הראשון כולו, כפי שהוא מועבר במאה האחרונה, מושתת על יסודות אלו ואפשר להסתפק בהסתכלות על כל התקופה הקודמת למאות האחרונות. אנו נתרכז בתקופה היוונית, שם נוסדה לראשונה המתמטיקה. ובמאה ה-17, שם החלו האנשים ליצור ידע חדש והורגשה תחושה כי הם בהחלט השתוו ליוונים ברמת הידע שלהם.

מתמטיקה יוונית

אישים שונים ותאריך פטירתם

תקופת הזוהר האתונאית: תאלס – 547 לפנה"ס
פיתאגורס – 457 לפנה"ס
דמוקריטוס – 307 לפנה"ס
אודוקסוס – 351 לפנה"ס (נולד ב-408 לפנה"ס)
אפלטון – 347 לפנה"ס (נולד ב-427 לפנה"ס)
אוקלידס – בסביבות 300 לפנה"ס
הכיבוש המו ארכימדס – 212 לפנה"ס (חי בסיצליה. נרצח על ידי חייל רומאי)
אפולניוס – 190 לפנה"ס . . . דיופנטוס – 284 לספירת הנוצרים

תאלס

תאלס נחשב לאבי הגיאומטריה היוונית. משמעות הדבר הוא שהוא הוכיח מספר משפטים. הראשון שבהם הוא שאם לוקחים מעגל, בוחרים נקודה ומעבירים קו דרך המרכז והנקודה, אז הקו יבתר את המעגל לשני חלקים שווים.

היום, דרך מושג הסימטריה, ההוכחה הזאת נראית לנו ברורה, אבל בתקופה ההיא מושג הסימטריה לא היה קיים ולכן ההוכחה הייתה קשה. לא נשאר שום דבר מדויק מתקופתו. מספרים על תאלס שהוא נסע למצרים להביא את הגיאומטריה. היוונים שהיו בעלי תרבות חדשה העריצו את התרבות המצרית שהייתה עתיקה בהרבה, אבל אנחנו לא נדון בקורס במתמטיקה הבבלית והמצרית. סביר להניח שהיוונים לא ידעו כלל המתמטיקה על המתמטיקה הבבלית. היום נראה כי הידע המתמטי הבבלי היה רחב יותר. עם זאת, חשוב לזכור כי הפפירוס שעליו רשמו המצרים והיוונים התכלה, בעוד לוחות החימר הבבליים נשארו שלמים. היום אנו יודעים כי לבבלים היה ידע כלשהו על משפט פיתגורס, הרבה לפני הופעתו ביוון. תקופת השיא המדוברת היא בשנת 2000 לפנה"ס וכאשר היוונים הגיעו למסופוטמיה התרבות הבבלית שקעה. לעומת זאת, במצרים אנו מוצאים התחלה של פתרון משוואות ממעלה ראשונה, נוסחאות שגויות לחישוב שטחים ועוד כמה דברים שלא נראים מרשימים לעומת ההישגים הבבלים.

השינוי היווני היה ההתעסקות בטיעון מתמטי תקף.

פיתגוראס

יכול להיות שפיתגוראס היה תלמידו של תאלס. הוא נסע ל....... והקים כת מיסטית שהפכה לבעלת חשיבות מכרעת על המתמטיקה והחשיבה האנושית. הם טענו כי העולם כולו מורכב ממספרים טבעיים. הם מצאו את הקשר בין המוזיקה לבין המספרים טבעיים (הם מצאו את הקשר בין אורך החוט לצליל שהוא מייצר). הם חתרו למצוא קשר בין מספרים לבין פיסיקה, בין המספרים לבין העולם (הם חשבו כי כל הטבע נובע מן ההבדל בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים).

רוב הדברים שהם חשבו הם אינם נכונים. גם בפיסיקה של היום, נותרו חלקים מעטים שאינם עומדים על מבנים מתמטיים מופשטים. הדבר הזה שונה לחלוטין מהתפישה הפתיגוראית שטוענת כי העולם מבוסס על תכונותיו של המספר. לדוגמה הם הסתכלו על מספרים מושלמים, מספרים ששווים לסכום כל מחלקיהם, או מספרים ידידים, זוג מספרים שכל אחד הוא סכום המחלקים של השני.

תוצאות אלו המשיכו גם לקפלר שלמרות שהוכיח דברים מסויימים ששימשו את ניוטון ניסה למצוא קשרים בין תכונות המספרים לאסטרונומיה, דבר שהיה ברור שהוא שגיאה גם בתקופת היוונים. אנו ננסה להבין כיצד הגיעו היוונים על סמך ניחוש שגוי זה להגיע לידע כה רב.

שני הספרים הראשונים של אוקלידס לקוחים מתוך עבודותיהם של הפיתגוראים.

התיאולוגיה הפיתגוראית אמרה שמה שחשוב הוא מספרים שלמים. הם רצו לנתח את הפיסיקה לאור מחשבה זאת. את המתמטיקה הם ניסו גם לפתח לאור היחסים בין המספרים השלמים. לדוגמה: נניח שקיימות שתי פירמידות תלת-מימדיות, מתי קיים להן אותו נפח. דרך אחת לעשות זאת לקחת שני מצולעים ולהעלות מהם ישר בעל אותו אורך (כלומר: "יחס הנפחים של הפירמידות שווה ליחס השטחים של בסיסיהן". אפשר להסתכל במקרים פרטיים. נאמר, ניקח משולש $T_{1}$ ומשולש $T_{2}$ שמורכב משני $T_{1}$ . נחלק את $T_{2}$ ונבנה גובה מכל אחד מ- $T_{1}$ ונקבל שתי פירמידות שברור שסכום הנפחים שלהן הוא נפח הפירמידה הבנויה על $T_{2}$ עם אותו גובה.
הפיתגוראים הניחו שלכל צורה הם יוכלו לחלק אותם למספר שלם של צורות דומות. כלומר: בהינתן שני קטעים א' ו-ב', "א' מודד ב' אםם ורק ניתן לחלק את ב' למספר שלם של א'". ההנחה שלהם הייתה כי תמיד ניתן למצוא קטע קטן יותר המודד גם את א' וגם ב'. אבל גם תחת הנחה זו, המתמטיקה איננה הופכת טריוויאלית לחלוטין.

התגלית המזעזעת עבור הפיתגוראים הייתה כי לא כל מספר הוא רציונאלי. הם מצאו כי ${\sqrt {2}}$ איננו רציונלי. מכאן כי כל הגיאומטריה שפיתחו לא הייתה נכונה וכן ההשלכות התיאולוגיות היו בגדר הבלתי-סביר. במילותיהם הם אמרו כי בריבוע לא תמיד אפשר למצוא קטע שימדוד גם את הצלע וגם את האלכסון. זהו למעשה משפט אי-קיום. ככל הידוע אין שום הוכחה דומה של אי-קיום בשום תרבות אחרת.

אוקלידס ספרו של אוקלידס "יסודות הגיאומטריה" איננו ספר מחקר כמו שאר ספריו, אלא ספר לימוד. ספר זה נחשב לאחד הספרים הגדולים ביותר ולמעשה גרם להפסקת ההעתקות של כל הספרים האחרים והוא זה ששרד לאורך כל הדורות. הגיאומטריה של אוקלידס היה הגיאומטריה של אודקסוס. במאה ה-18 נעשה מאמץ פנונולוגי לשחזר את הספר המקורי של אוקלידס. בהתחלה אוקלידס הגיע לאירופה מהתרגום הערבי, אך כל הספרים היו רחוקים מן המקור. האדם המרכזי שעסק בספרו של אוקלידס הוא הייברג ותוצאת פעילותו היא זו הנחשבת לספרו המקורי של אוקלידס.

חומר הקריאה לשיעור הבא:

מנון מאת אפלטון. חשוב לקרוא בעיקר את הקטע העוסק במהות ההוכחה – מאיפה בא הידע המתמטי.
מכתב מאת אפלטון
אוקלידס

שיעור 3 - כ"ט אדר א תשס"ה, ‏10 מרץ 2005

האקסיומות של אוקלידס

לצייר קו ישר מכל נקודה לכל נקודה
להמשיך את הקו הישר הסופי כמה שנרצה (בצורה המשכית) לקו ישר
לתאר מעגל מכל נקודה ורדיוס
כל הזוויות הישרות שוות אחת לשנייה
אקסיומת המקבילים: שני ישרים וישר שנופל עליהם. אם שתי הזוויות מאותו הצד של הישר הנופל (אחד מהצדדים) סכומן פחות מסכום של שתי זוויות ישרות (פחות מ- $180^{\circ }$ ) ואם ממשיכים את שני הישרים הנתונים אז הם יפגשו באותו הצד.

טענה 1 (טענת קיום/בניה)

לבנות משולש שווה צלעות על קטע ישר (סופי) נתון (מוכח בעזרת אקסיומה 3 ואקסיומה 1). אח"כ נדבר על ריבוע, מחומש, משושה.

מצולע משוכלל בעל שבע צלעות – היוונים לא הצליחו לבנות (במשך כל הספר הראשון מדובר על המישור).

טענה 3

אנו רוצים לחסר קו אחד מקו אחר. היום היינו לוקחים את המספר המייצג את האורך ניסוח הטענה: לחתוך מהגדול שבין שני קווים לא שווים את הקו הקטן

טענה 4 (משפט חפיפת משולשים) אם שני משולשים יש להם שני צדדים השווים בהתאמה לשני צדדים והזוויות שהמוכלות בשני צדדים שווים שוות, אז הבסיס שווה

אחת מהסברות לפחדם של היוונים מההזזות היא הבנתם את הפרדוקסים של זנון המראים, לכאורה, כי התנועה איננה אפשרית.

הפרדוקסים של זנון

הפרדוקס הראשון של זנון קובע כי תנועה בלתי אפשרית כי כדי להגיע מנקודה א' לנקודה ב' אנו צריכים לעבור קודם כל חצי הדרך. הפרדוקס אמנם מסתיים כאן, אך הוא ברור: לפני שאנו עוברים חצי, אנו צריכים לעבור רבע, ולפניו שמינית וכן הלאה. למעשה יש פה אינסוף צעדים, היכן אנו מתחילים לצעוד?

הפרדוקס השני של זנון (אכילס והצב) - הפרדוקס השני של זנון מספר על המירוץ בין הצב לבין אכילס. הצב מתחיל קצת לפני אכילס. אכילס לעולם לא ישיג את הצב וזאת כי למרות שבשלב כלשהו יגיע לנקודה שבה היה הצב קודם לכן הצב התקדם קצת ואכילס יצטרך להדביק את מרחק זה, אבל גם אז הצב יתקדם וכן הלאה. לכאורה, אכילס לא יגיע אל הצב. הפתרון המקובל אומר כי אכילס ישיג את הצב ואת זאת רואים מחישוב הטור הגיאומטרי. הית' אמר כי הדבר המוזר הוא לא קיום אינסוף, או הטור האינסופי אלא הקיום שלו בתוך קטע סופי.

בשיעור הבא נתחיל לדון בפרדוקסים הללו.

שיעור 4 - ו' אדר ב תשס"ה, ‏17 מרץ 2005

בשיעור הקודם עסקנו בשני הפרדוקסים הראשונים של זנון. עתה נעסוק בשני הפרדוקסים הנוספים.

הפרדוקס השלישי: כל נקודה במעופו של חץ היא סטטית, אם כך איך תנועה אפשרית בכלל?

הפרדוקס הרביעי (פרדוקס האצטדיון) אינו ברור כמו שלושת קודמיו. הפרדוקס עוסק בשלוש קבוצות רצים אשר שתיים מהן נעות בכיוון מסוים והשלישית בכיוון אחר. שתי מדידות השונות אחת מהשנייה של המהירות נותנות תוצאות שונות.

הערה: זנון עצמו כנראה כתב רק ספר אחד ואנו יודעים בעיקר ממקורות אחרים כדוגמת אריסטו (אשר פוסל את הפרדוקסים). מטרתו בכתיבת הפרדוקסים איננה ברורה. יש הגורסים כי ניסה להגן על תפישה פילוסופית הקובעת כי הכל אחד.

בשיעור זה ובבא אחריו נעסוק בשלושת הבעיות הפתוחות של יוון ונבחון מספר בניות אשר היוונים ביצעו (לאו דווקא עם סרגל ומחוגה).

בספרו השני של אוקלידס הוא עוסק באלגברה גיאומטרית. אפשר לראות בפתח ספרו בטענות השונות טענות אלגבריות המנוסחות בשפה גיאומטרית. כיום ישנו ויכוח לגבי זווית ההסתכלות של היוונים עצמם. היו שחשבו שהיוונים הסתירו דברים מתוך אילוצי התחום – כתבו לא את אשר חשבו.

טענה 1 – היא למעשה חוק הפילוג

טענה 9 – חוק כפל מקוצר כלשהו

טענה 11 – מציאת $\varphi$ כך ש- $\varphi ^{2}=1-\varphi$ (יחס הזהב)

בספר השלישי אוקלידס עוסק במושגים הנוגעים ליחס בין קווים למעגלים ובין מעגלים למעגלים.

טענות 6-5 – מעגלים החותכים זה את זה או משיקים זה לזה אם אינם בעלי אותו מרכז.

טענה 18 – מנקודה נתונה לצייר ישר המשיק למעגל נתון

היום אנו מכירים את הגיאומטריה האנליטית הלוקחת שאלות בגיאומטריה וממירות אותן בבעיות באלגברה. הפיתוחים הללו הם של דקארט (מהמאה ה-17). לעומת זאת, ניתוח בעיות אלגבריות בגיאומטריה נעשה כבר על ידי היוונים.

בספר הרביעי מראה אוקילדס בטענה 11 כי ניתן לבנות מחומש משוכלל בתוך עיגול.

אחד מההישגים הגדולים ביותר של היוונים עוסק בחתכי חרוט. אחד מהספרים של אוקלידס עסק בחתכי חרוט, אך זה לא שרד. עם זאת, שרד ספרו של אפולניוס בנושא זה. חתכי החרוט הם הצורות הנוצרות על ידי חיתוך של חרוט עם מישור. בשפה מודרנית היינו מדברים על משוואות המתארות את החתכים הללו. גם בעזרת עקומים אלו מצאו דרכים לפתרון הבעיה.

סיפור מודרני על אי-האפשרות לחלק זווית לשלושה חלקים שווים (או: על דקארט ורעיון הסימטריה של גלואה)

הרעיון של דקארט היה לבחור שני ישרים מאונכים כלשהם מתוך כל הישרים במישור. אנו מעניקים לכל נקודות במישור ערך מספרי. אנו שואלים לאילו נקודות אפשר להגיע בעזרת בניות בסרגל ומחוגה. קל לראות שברגע שמצליחים לבנות משהו אפשר להזיז אותו לכל מקום אחר. כמו-כן, מספיק לשאול לאילו נקודות על ציר ה- $X$ ניתן להגיע. מדוע? בהינתן נקודה במישור אפשר לקבל את ערכיה על ידי "הטלה" על הצירים (שנעשית על ידי בנייה, כמובן). הנחנו כי 0,1 כלולות. נזכיר כי אחת הטענות הראשונות בספרו הראשון של אוקלידס עוסקת בחיסור ושפה החדשה משמעות הדבר כי $x,y\in$ אז גם $x-y\in \mathbb {F} ,x+y\in \mathbb {F}$ . כמו-כן, ראינו כי בהינתן מלבן ניתן לבנות מלבן באותו שטח על קטע נתון. משמעות הדבר היא כי אם $x,y\in \mathbb {F}$ אז ${\frac {x}{y}}\in \mathbb {F}$ ו- $x\cdot y\in \mathbb {F}$ .

שיעור 5 - ז' אדר ב תשס"ה, ‏18 מרץ 2005

בשיעור האחרון ראינו כי השאלה האם אפשר להגיע אל נקודה על המישור שקולה לבעיה האם אפשר להגיע אל נקודה על הצירים.

התחלנו עם שתי נקודות כלשהן במישור וראינו כי המבנה המתקבל הוא "כמעט-שדה סדור". הסיבה לכך שמדובר ב"כמעט שדה" היא שבמישור ישנם רק אורכים חיוביים.

בשיעור זה נמשיך בהמרת הבעיה הגיאומטרית לבעיה אלגברית. אם $a\in \mathbb {F} ,a>0$ נוכל לשרטט את המעגל $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ . אם $c\in \mathbb {F}$ נוכל לשרטט את הישר $y=cx$ (מגיעים מהנק' $\left({0,c}\right)$ לנק' $\left({1,c}\right)$ . נקודת החיתוך בין שני קווים אלו תהיה $x={\frac {a}{\sqrt {1+c^{2}}}}$ למעשה קיבלנו כי שדה זה סגור תחת שורש של כל המספרים הנמצאים בתוכו, או במילים אחרות: אפשר לפתור משוואות ריבועיות, בתנאי שהדיסקרימננטה אי-שלילית.

מתוך מציאת השורשים הריבועים ברור כי נוכל למצוא שורשים שהם חזקה של 2 (8,4,2,...). נשאלת השאלה האם נוכל לפתור בכלים של סרגל ומחוגה משוואה ממעלה שלישית?

נניח כי $\mathbb {F}$ שדה סגור עם ${\sqrt {x}}$ לכל $0\leq x\in \mathbb {F}$ . נתבונן במישור $E=\mathbb {F} ^{2}$ עם הישרים שעוברים דרך 2 נקודות של $\mathbb {F}$ והמעגלים שעוברים דרך 3 נקודות של $\mathbb {F}$ .

טענה כל הבניות בסרגל ומחוגה אפשריות ב- $E$ .

אם $L_{1},L_{2}$ ישרים של $E$ אז נקודת החיתוך שלהם ב- $E$ (אם קיימת).
כנ"ל לגבי $C$ מעגל ו- $L$ ישר
כנ"ל לגבי $C_{1}C_{2}$ מעגלים

דוגמה

נתון
$L_{1}$ עובר דרך $\left({b_{1},b_{2}}\right)$ , $\left({a_{1},a_{2}}\right)$ כאשר $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {F}$ $L_{2}$ עובר דרך $\left({d_{1},d_{2}}\right)$ , $\left({a_{1},a_{2}}\right)$ כאשר $c_{1},c_{2},d_{1},d_{2}\in \mathbb {F}$

הבעיה העומדת בפנינו היא למצוא את נקודת החיתוך. ישנם שני מקרים אפשריים עבור משוואת הישר:

$y=ex+t$
$x=e$

צריך לפתור את כל ארבעת המקרים הנוצרים משתי אפשרויות הללו ולראות כי אנו נמצאים עדיין בתוך השדה.

המקרה השני דומה (נצטרך הפעם את השורש). במקרה השלישי, נסתכל על צמצום הבעיה על ידי כלים גיאומטריים לבעיית חיתוך ישר ונקודה.

אחרי שהראינו את הזהות בין נקודות $\mathbb {F} ^{2}$ לבין הנקודות אשר אפשר להגיע אליהן בבנייה עם סרגל ומחוגה נחזור אל שלושת הבעיות הדליות:

ריבוע המעגל (למצוא ריבוע מסוים עם שטח של מעגל עם רדיוס נתון, כלומר קטע עם אורך $a\in \mathbb {F}$ כך ש- $a=\pi r^{2}$ .
הכפלת (נפח) הקוביה
מציאת שליש של זווית נתונה

תרגום (וקצת פתרון)

נתון מעגל (יחידה). אם נמצא ריבוע ששטחו כשטח המעגל $\pi$ , צלע הריבוע ב- $\mathbb {F}$ , כלומר ${\sqrt {\pi }}\in \mathbb {F}$ (שזה כבר שקול לכך ש- $\pi \in \mathbb {F}$ ).

תקציר: האם $\pi \in \mathbb {F}$ ?

התשובה היא לא. הוכח רק בסוף המאה ה-19

הבעיה שקולה בניסוח שלנו לשאלה "האם ${\sqrt[{3}]{2}}$ ?"
בניגוד לבעיות הקודמות שדקארט יכל להבין את משמעותן כבר במאה ה-17, את הבעיה הזאת ננסח בכלים קצת יותר מודרניים, מן המאה ה-18. עומר כיאם הראה כי על מנת לפתור את הבעיה צריך לפתור משוואות ממעלה שלישית ואף יותר מכך, כיאם התחיל להתקרב לפתרון המראה כי אין פתרון למשוואות מסויימות. באיטליה השל המאה ה-16 הצליחו כבר לפתור בצורה כללית (באופן אלגברי) את כל המשוואות ממעלה שלישית (הם השתמשו במספרים מרוכבים בלי להתייחס לבעיה שבדבר) וגם הצליחו לפתור חלק מן המשוואות מהמעלה הרביעית.

ובחזרה לבעייתנו, נסתכל על השדה $\mathbb {F} \left(i\right)=\left\{{\left.{a+bi}\right|a,b\in \mathbb {F} }\right\}$ . שדה זה איננו סדור. טענה: לכל $a+ib\in \mathbb {F} \left(i\right)$ יש שורש ריבועי ב- $\mathbb {F} \left(i\right)$ [פותרים את הבעיה $\left({x+iy}\right)^{2}=a+ib$ ורואים]. נשאל האם אפשר לבנות זווית של ${\frac {360^{\circ }}{n}}$ עבור $n\in \mathbb {N}$ ? אם"ם $\exists \omega \in F\left(i\right),\left(\omega ^{n}=1\wedge \left(\omega ^{n}\neq 1,1\leq k<n\right)\right)$ אם ניתן למצוא שליש של כל זווית, בפרט של $360^{\circ }$ , כלומר $120^{\circ }$ (זה אפשר) וגם ${\frac {360^{\circ }}{9}}$ מכאן כי קיים שורש יחידה מדרגה 9 ב- $\mathbb {F} \left(i\right)$ .

סימטריה

משפט ${\sqrt[{3}]{2}}\notin \mathbb {F} \left(i\right)$

רעיון: ל- $\mathbb {Q} \left({{\sqrt[{3}]{1}},{\sqrt[{3}]{2}}}\right)$ יש סימטריה מסדר 3. ל- $\mathbb {F} \left(i\right)$ (ותתי השדות שלו) יש רק סימטריות מסדר $2^{m}$ .

משפט $\pi \notin \mathbb {F}$

טענה כל איבר $a$ של $\mathbb {F}$ אלגברי, כלומר קיים פולינום $P\left(x\right)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}$ $a_{i}\in \mathbb {Q}$ , כך ש- $P\left(a\right)=0$ .

רעיון: $\pi$ איננו מספר אלגברי (לינדלמן)

הרעיון של סימטריה הובן לראשונה באופן עמוק על ידי גלואה (1832-1811). אנחנו נסתכל לא על השדה, אלא על מבנה אחר, חבורה אשר באה לתאר את הסימטריה של השדה עצמו.

טענה

לשדה $\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)$ יש סימטריה מסדר 2.
מנקודת המבט של פעולות השדה ${\sqrt {2}}$ מקיים $X^{2}-2=0$ , אבל הוא לא היחיד! גם $-{\sqrt {2}}$ מקיים את המשוואה. הטענה היא כי הפתרונות סימטריים לחלוטין, משמע: אין דבר להבדיל בין ${\sqrt {2}}$ ובין $-{\sqrt {2}}$ על ידי פעולות השדה.

הוכחה נגדיר פונקציה $\alpha :\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\to \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)$ על ידי $\left({a,b\in \mathbb {Q} }\right)\alpha \left({a+b{\sqrt {2}}}\right)=a+b\left({-{\sqrt {2}}}\right)$ . המבנה הגיאומטרי של הישר נשבר (אפילו נקודות מאוד קרובות ל- ${\sqrt {2}}$ לא עוברות).

טענה $\alpha$ הוא אוטומורפיזם של $\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)$ [ההעתקה חחע"ל מתוך השדה לעצמו המשמרת פעולות – הומומורפיזם מהשדה לעצמו).

טענה

ל- $\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)$ אין סימטריות מסדר 3.

טענה כללית אם $\mathbb {F} '$ מתקבל מ- $\mathbb {Q}$ על ידי הוספת שורשים ריבועיים ואם $\alpha$ אוטומורפיזם של $\mathbb {F} '<math>\alpha \circ \alpha \circ \alpha \left(x\right)=x$ אז $\alpha \left(x\right)=x$ .

הוכחה באינדוקציה על מספר הצעדים של הוצאת שורש במעבר מ- $\mathbb {Q}$ אל $\mathbb {F} '$ .

$\mathbb {F} '=\mathbb {F} ''\left({\sqrt {b}}\right)$ .

נתבונן במקרה $\mathbb {F} '=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)$ - המקרה הכללי לא יהיה שונה במיוחד.

נשים לב כי $\alpha \left(1\right)=1$ . מכאן כי $\alpha \left(2\right)=2$ וכן הלאה. בנוסף $\alpha \left({-2}\right)=-2$ (כי $\alpha \left({-2}\right)+\alpha \left(2\right)=0$ ). באופן דומה גם $\alpha \left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\alpha \left(p\right)}{\alpha \left(q\right)}}={\frac {p}{q}}$ , אבל מה עם ${\sqrt {2}}$ ?

${\sqrt {2}}$ מקיים $x^{2}-2=0$ , לכן $\alpha \left({\sqrt {2}}\right)$ מקיים $x^{2}-2=0$ . מכאן כי $\left({\alpha \left({\sqrt {2}}\right)}\right)^{2}+2=0$ אבל משמעות הדבר היא כי $\alpha \left({\sqrt {2}}\right)=\pm 2$ . האם אפשרי כי $\alpha$ יהיה מסדר 3? בבירור לא.

שיעור 6 - י"ג אדר ב תשס"ה, ‏24 מרץ 2005

נשים לב כי אם אפשר למצוא שליש של זווית כלשהי אז אפשר למצוא תשיעית של זווית כלשהי, בפרט של $360^{\circ }$ , כלומר: בניית זווית של $40^{\circ }$ . משמעות הדבר היא שאפשר לבנות מצולע משוכלל עם תשע צלעות. באלגברה נשאל האם השורש הפרמיטיבי של 9 נמצא ב- $\mathbb {F} _{euclid}$ .

הוכחה
התשובה לשאלת הכפלת הקובייה ושליש הזווית היא שלילית (ובעצם גם הפתרון לריבוע המעגל). נצטרך בשביל ההוכחה את מושג המימד מאלגברה ליניארית, רק הפעם בהסתכלות של שדה מעל שדה.

טענה (כלל המכפלה)
אם $L\leq F\leq K$ אזי $\left[{K:L}\right]=\left[{K:F}\right]\left[{F:L}\right]$

דוגמה
$\left[{\mathbb {Q} \left({\sqrt {a}}\right):\mathbb {Q} }\right]=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}{\sqrt {a}}\in \mathbb {Q} \\2,&{\mbox{if }}{\sqrt {a}}\notin \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

משמעות הדוגמה
מה קורה במקרה של ${\sqrt[{3}]{2}}$ ? המימד יוצא 3.
מה קורה במקרה של $\pi$ ? לא נוכיח אבל $\left[{\mathbb {Q} \left(\pi \right):\mathbb {Q} }\right]=\infty$ (אי-אפשר להביע את $\pi ^{n}$ בעזרת $\left[\left\{{\left.{\pi ^{i}}\right|1\leq i\leq n-1}\right\}\right]$ .

דוגמה מהו $\left[{\mathbb {Q} \left(\omega \right):\mathbb {Q} }\right]$ כאשר $\omega$ שורש פרמיטיבי $n$ '-י של 1.

האם $1,\omega ,\omega ^{2},\ldots ,\omega ^{n-1}$ בסיס?

לא בהכרח. $1+\omega +\ldots +\omega ^{n-1}=0$

נשאיר כתרגיל להוכיח כי $\left[{\mathbb {Q} \left({\sqrt[{9}]{1}}\right):\mathbb {Q} }\right]=6$

מסקנה
אם $a\in \mathbb {F} _{euclid}\left(i\right)$ $a\in \mathbb {F} _{euclid}\left(i\right)$ עבור $n\in \mathbb {N} \cup \left\{0\right\}$ כלשהו.

מסקנה
אין פתרון בסרגל ומחוגה לשלושת הבעיות של ימי קדם.

אילו מצולעים משוכללים ניתן לבנות?

$2^{n}$ כן
אם $p$ ראשוני אי-זוגי $\left[\left.{p^{2}}\right|n\right]$ , לא
$p$ ראשוני אי-זוגי $\left[{\mathbb {Q} \left(\omega \right):\mathbb {Q} }\right]=p-1$

מספרים על גאוס שביקש לצייר על קברו את המצולע המשוכלל עם 17 צלעות שבנה עם סרגל ומחוגה.

על אוקלידס ביקש חרוט וספירה על הקבר (כנראה שם כן עשו את זה, יש עדויות על קיומו של הקבר מאה שנה לאחר מותו של אוקלידס) היפוקרטס (לא הרופא) הצליח לרבע כל מיני דברים, בעיקר ירחים (עיגול פחות החיתוך עם עיגול). אוקלידס גם כן ריבע ירח מסויים.

נשים לב כי משפט פיתוגרס לא מדבר בהכרח על ריבועים, אלא על כל צורה אחרת ששטחה פרופורציוני לריבוע הצלע.

רעיון ההוכחה
ממשפט פיתגורס, (חצי המעגל בקוטר $AB$ ) = (חצי המעגל בקוטר $AC$ )+(חצי המעגל בקוטר $BC$ ). אבל $AC=CB$ , ולכן (חצי המעגל בקוטר $AB$ ) = פעמיים (חצי המעגל בקוטר $AC$ ). מכאן, רבע המעגל בקוטר $AB$ =חצי המעגל בקוטר $AC$ .

אם נחסר מרבע המעגל בקוטר $AB$ את החלק המשותף עם חצי המעגל בקוטר $AC$ , נקבל את $\triangle ADC$ , ואם נחסר מחצי המעגל בקוטר $AC$ את אותו השטח, נקבל את הסהר. ולפי עקרון חיסור שווים משווים, הצלחנו לבנות ריבוע ששטחו פעמיים הסהר. כמעט כנדרש.

לא בטוח מתי דיופנטוס חי (הית' חושב שהוא יודע, אבל סנט אנדרוס לא מסכימים

איפטיה כתבה הערות על דיופנטוס, אז הוא לכל המאוחר ב-350 לספירה

עקרון גלואה
אם ניתן לבנות בניה גיאומטרית המביאה לנקודה $\left({a,b}\right)$ בצורה יחידה בהינתן נתונים $c,d,\ldots$ אז $a$ ו- $b$ ניתנים לביטוי רציונלי (בנתונים) על ידי $+,-,\cdot ,:$ בלבד.