פיזיקה תיכונית/מכניקה/קינמטיקה/טכניקות לפתרון תרגילים ודוגמאות

סיכום

סיכום המשוואות

משוואת מקום-זמן (מהירות קבועה):

$x_{t}=x_{0}+vt$

משוואת תנועה (תאוצה קבועה):

• $x_{t}=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$
• $v_{t}^{2}=v_{0}^{2}+2a(x_{t}-x_{0})$

משוואת מהירות-זמן (תאוצה קבועה):

• $v_{t}=a\cdot t+v_{0}$

שימו לב!

אם לדוגמא כיוונו החיובי של ציר ה- $x$ נקבע ימינה והגוף נע במהירות עולה שמאלה (כלומר יש תאוצה), אז:

• ההעתק שלילי
• המהירות שלילית
• התאוצה שלילית (אע"פ שהגוף מאיץ)

ולכן אם באותו מקרה הגוף ינוע שמאלה במהירות הולכת ופוחתת (כלומר יש תאוצה), אז:

• ההעתק שלילי
• המהירות שלילית
• התאוצה חיובית (אע"פ שהגוף מאט)

כמו כן אם האחד הגדלים הללו שלילי יש להציב אותו בנוסחאות התנועה כמספר שלילי

סיכום גראפים

• בגראף מקום-זמן השיפוע שווה למהירות.
• בגראף מהירות-זמן השיפוע שווה לתאוצה והשטח הכלוא ע"י הגרף שווה להעתק.
• בגראף תאוצה-זמן השטח הכלוא ע"י הגרף שווה למהירות.

בעיות נפוצות

תיאורי תנועה

גוף נע במהירות התחלתית $5{\frac {m}{s}}$ שמאלה ויש לו תאוצת $2{\frac {m}{s^{2}}}$ ימינה.

1. מה נוסחת מקום-זמן של הגוף
2. שרטטו גראף מהירות-זמן של הגוף מ- $t=0$ עד $t=5s$
3. מהו ההעתק שהגוף עבר בזמן זה
4. בפרק זמן זה מהו המרחק הגדול ביותר מנקודת ההתחלה שהגוף הגיע אליו

פתרון

ראשית נגדיר את ציר המקום - בדרך-כלל עדיף להגדיר את הכיוון החיובי של הציר עם כיוון תנועת הגוף לשם פשטות - ולכן נגדיר את הכיוון החיובי של ציר המקום שמאלה.

1)

נוסחת מקום-זמן היא: $x_{t}=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$

לפי נתוני השאלה: $x_{0}=0;v_{0}=5;a=-2$

נציב ונקבל: $x_{t}=5t-{\frac {2t^{2}}{2}}$

נצמצם: $x_{t}=5t-t^{2}$

2)

גראף מהירות כפונקציה זמן

3)

כפי שרואים בשרטוט ההעתק החיובי שווה בגודלו להעתק השלילי ולכן ההעתק הכולל שווה לאפס (כלומר הגוף חזר לנקודת ההתחלה).

4)

נתאר תחילה את תנועת הגוף באופן איכותני: הגוף מתחיל לנוע שמאלה במהירות ההתחלתית ומאט כל הזמן עד לרגע שבו הוא נעצר ואז הוא נע ימינה בתנועה מואצת, ברגע שבו לגוף יש מהירות אפס (כלומר ברגע שבו הגוף נעצר) הגוף נמצא במרחק הגדול ביותר מנקודת ההתחלה.

ע"פ הנוסחה: $v_{t}=a\cdot t+v_{0}$

נציב את הנתונים ונקבל: $v_{t}=5-2t=0$

נפתור את המשוואה ונקבל: $t=2.5s$ כלומר ברגע זה הגוף נעצר

נציב את $t$ שקיבלנו בנוסחת מקום-זמן של הגוף: $x_{2.5}=5(2.5)-(2.5)^{2}=6.25m$

כלומר המרחק הכי גדול שהגוף היה בו מנקודת ההתחלה היה $6.25m$ וזה קרה ברגע $t=2.5s$ .

פגישות

בשאלות פגישה ועקיפה כשנתונים שני גופים יש להגדיר אותם ע"פ ציר מקום אחד ולמלא את משוואות מקום-זמן לפי הגדרה זו, כך שאפשר יהיה להשוות את אגפי הימין של משוואות הגופים. נדגים:

מעיר א יוצא בשעה 8:00 אופנוע בתאוצה של $7{\frac {km}{h^{2}}}$ (מהירות התחלתית אפס),
מעיר ב יוצא באותו הזמן מכונית במהירות התחלתית שגודלה $5{\frac {km}{h}}$ ובתאוצה שגודלה $3{\frac {km}{h^{2}}}$ ,
המרחק בין הערים הוא 150 ק"מ.

1. באיזו שעה כלי הרכב יפגשו
2. באיזה מרחק מעיר א הפגישה תתרחש
3. בנקודת המפגש מה יהיה גודל המהירות של כל כלי רכב ביחידות של ${\frac {m}{s}}$

פתרון

1.

נגדיר את תחילת ציר המקום בעיר א ואת כיוונו החיובי כלפי עיר ב על פי הגדרה זו נציב את הנתונים בנוסחת מקום-זמן של כלי הרכב ונקבל:
אופנוע $x_{t}={\frac {7t^{2}}{2}}$
מכונית $x_{t}=150-5t-{\frac {3t^{2}}{2}}$
נשווה את שתי אגפי הימין של המשוואות נקבל: $150-5t-{\frac {3t^{2}}{2}}={\frac {7t^{2}}{2}}$

נסדר: $-5t^{2}-5t+150=0$

נצמצם: $-t^{2}-t+30=0$

נפתור: $t_{1,2}={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}+4\cdot 30}}}{2\cdot (-1)}}=-6;5$ התוצאה 6- לא אפשרית זמן לא יכול להיות שלילי

כלומר עברו 5 שעות מרגע היציאה עד שנפגשו ולכן הפגישה הייתה בשעה 1:00

2.

נציב את הזמן שקיבלנו בסעיף הקודם באחד ממשוואות מקום-זמן: $x_{5}={\frac {7(5)^{2}}{2}}=87.5$ אופנוע.

כלומר נקודת המפגש הייתה במרחק 87.5km מעיר א.

3.

ע"מ לשנות מיחידות ${\frac {km}{h}}$ ליחידות ${\frac {m}{s}}$ צריך לחלק את המהירות ב- 3.6 .
הוכחה (v=מהירות כלשהי): $v{\frac {km}{h}}=v{\frac {m\cdot k}{3.6\cdot s\cdot k}}={\frac {v}{3.6}}{\frac {m}{s}}$

נמצא את המהירות ברגע הפגישה ע"י משוואת מהירות-זמן כך שנקבל את התוצאה ביחידות של ${\frac {km}{h}}$ ואז נמיר אותם ליחידות ${\frac {m}{s}}$ כאמור לעיל:
אופנוע $v_{(5)}=7(5)=35{\frac {km}{h}}\approx 9.7{\frac {m}{s}}$
מאחר ואנו נדרשים למצוא את גודל המהירות כלומר את הערך המוחלט של המהירות הוא תמיד יהיה חיובי ולכן משוואת מהירות-זמן של המכונית תראה כך:
מכונית$v_{(5)}=5+3(5)=20{\frac {km}{h}}\approx 5.6{\frac {m}{s}}$

נפילה חופשית

בנפילה חופשית מעדיפים להגדיר את הכיוון החיובי של ציר המקום כלפי מעלה כך שהתאוצה $g$ היא שלילית

כדור נע מעלה בנפילה חופשית הוכיחו שכשהכדור באותו הגובה בעלייה ובירידה גודל המהירות שלו שווה

הגדורות והנחות

• נקודת האפס=נקודה כל שהיא במסלול העליה של הכדור; נקודה 1=נקודת השיא של מסלול הכדור; נקודה 2=נקודה במסלול הירידה של הכדור ששווה בגובהה לנקודה אפס
• הנקודה בה הכדור שווה בגובה בעלייה ובירידה נקרא לה נקודת השוויון
• ההעתק מנקודת השיא עד לנקודת השוויון שווה בעלייה ובירידה
• בנקודה 1 V=0

למעשה הכדור נע על קו ישר, תיאור התנועה בצורה שבתמונה היא לצורך אילוסטרציה

פתרון

ההעתק מנקודת ההתחלה עד לשיא:
א) $\Delta x_{(0,1)}=v_{0}t_{1}-{\frac {gt_{1}^{2}}{2}}$

ההעתק מנקודת השיא עד לנקודת השוויון:
ב) $\Delta x_{(1,2)}=-{\frac {gt_{2}^{2}}{2}}$

גודל ההעתקים שווה:

$\Delta x_{(1,2)}=-\Delta x_{(0,1)}$

$\Delta x_{(0,1)}={\Big |}-\Delta x_{(0,1)}{\Big |}$

ע"פ השוויון $v_{1}=v_{0}-gt_{1}=0$ מתקיים:
ג) $v_{0}=gt_{1}$

נשווה את שתי הנוסחאות הראשונות:

$v_{0}t_{1}-{\frac {gt_{1}^{2}}{2}}=\left|-{\frac {gt_{2}^{2}}{2}}\right|$

נציב את משוואה ג:

$gt_{1}^{2}-{\frac {gt_{1}^{2}}{2}}=\left|-{\frac {gt_{2}^{2}}{2}}\right|$

נסדר:

${\frac {gt_{1}^{2}}{2}}=\left|-{\frac {gt_{2}^{2}}{2}}\right|$

הגדלים המוחלטים של ההעתקים שווים וכיווניהם הפוכים לכן:
${\frac {gt_{1}^{2}}{2}}={\frac {gt_{2}^{2}}{2}}\quad /:{\frac {g}{2}}$

$t_{1}^{2}=t_{2}^{2}\quad /{\sqrt[{}]{}}$

מדובר בזמן ולכן הגדלים חיוביים לכן: $t_{1}=t_{2}$

ולכן: $v_{3}=-gt_{2}=-gt_{1}=-v_{0}$

תנועה אופקית

כדור נופל נפילה חופשית מגובה $20m$ מעל למטרה, באותו רגע נורה חץ במהירות $12.5{\frac {m}{s}}$ ממרחק $15m$ מהמטרה ובגובה שלה.

האם יש זווית $\alpha$ שבה החץ ישפד את הכדור למטרה? אם כן מהי הזווית ואם לא הוכיחו שלא.

פתרון

ראשית נגלה כמה זמן אורך לכדור להיות מול המטרה (הגדרנו את ראשית ציר $y$ בגובה המטרה והחץ): $0=20-{\frac {gt^{2}}{2}}$

נפתור את המשוואה ($g=10$) ונקבל: $t=2s$

אם כך אנו יודעים שרכיב המהירות בציר ה- $x$ צריך להיות כזה שבשתי שניות יעבור $15m$ לכן: $15=2v_{x}\to v_{x}={\frac {15}{2}}=7.5{\frac {m}{s}}$

אנו יודעים את הווקטור השקול של המהירות ואת רכיב ה- $x$ שלה ולכן: $\alpha =\arccos \left({\tfrac {7.5}{12.5}}\right)=53^{\circ }$

ולכן רכיב המהירות $y$ שווה: $v_{y}=\sin(53^{\circ })\cdot 12.5=10{\frac {m}{s}}$

מכאן שמשוואת מקום-זמן בציר ה- $y$ של החץ היא: $x_{t}=10t-{\frac {gt^{2}}{2}}$

נציב $t=2$ ונקבל: $x_{2}=10\cdot 2-{\frac {10\cdot 2^{2}}{2}}=0$

כלומר החץ נמצא בגובה של המטרה וגם בציר ה- $x$ הוא נמצא במיקום של המטרה בזמן שלוקח לכדור להגיע למטרה ולכן הוא יכול לשפד את הכדור בזווית שמצאנו שהיא $\alpha =53^{\circ }$

הפרק הקודם:	טכניקות לפיתרון תרגילים ודוגמאות	הפרק הבא:
תנועה מעגלית		תרגילים מסכמים קינמטיקה