פיזיקה תיכונית/מכניקה/עבודה ואנרגיה

עד עכשיו למדנו לפתור בעיות מההבט של כוחות, ישנם עוד דרכים לפתור בעיות כמו מבחינה אנרגטית למעשה שתי הדרכים שוות זו לזו אבל לפעמים יותר נוח לפתור בעיות על-ידי הסתכלות אנרגטית כמו בדוגמא הבאה:

כדור משוחרר ממנוחה מראש מסלול בצורת רבע עיגול, רדיוס המסלול מטר אחד והחיכוך ניתן להזנחה, מה תהיה מהירותו בסוף המסלול?

הדרך לפתרון בעייה זו באמצעות כוחות היא מסובכת ולכן צריך עוד דרכים לפתרון בעיות, לצורך כך אנו מגדירים גדלים חדשים: עבודה ואנרגיה, אבל קודם הקדמה מתמטית קצרה.

כפל וקטורים

ישנם שני סוגים של כפל בין וקטורים כפל וקטורי וכפל סקלרי, הכפל הוקטורי (מסומן באמצעות $\times$) והתוצאה מהכפלה זו היא וקטור, לא נעמוד כאן על הדרך להכפלה זו, הדרך השניה היא כפל סקלרי (מסומן בנקודה $\cdot$) והתוצאה של כפל זה היא סקלר (מספר פשוט) כפל זה נעשה כך: מכפלת גודל הוקטורים בקוסינוס הזוית ביניהם או בצורה מתמטית:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}|\cdot |{\vec {B}}|\cdot \cos(\alpha )$

כאשר $\alpha$ היא הזוית בין הוקטורים.

הסתכלות נוספת היא שכפל סקלרי הוא כפל גודל וקטור אחד בהטל הוקטור השני עליו או בצורה מתמטית ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}|\cdot |{\vec {B_{A}}}|$ .

עבודה

יש להבדיל בין המושג הפיזיקלי של עבודה לבין המושג היומיומי

הגדרת עבודה

עבודה מוגדרת כוקטור הכוח כפול כפל סקלרי בוקטור העתק או בצורה מתמטית:

${\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}=|{\vec {F}}|\cdot |\Delta {\vec {x}}|\cdot \cos(\alpha )$

מבחינה גרפית השטח הכלוא ע"י גרף כוח-מקום שווה לעבודה.

עד עכשיו דיברנו על כוח קבוע, כשהכוח לא קבוע בגודלו (אבל קבוע בכיוון יחסית להעתק) העבודה היא האינטגרל של הכוח כפונקציה של המקום ובצורה מתמטית:

$W=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}=\cos(\alpha )\cdot \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}F\cdot dx$

כאשר $\alpha$ היא הזוית בין וקטור העתק לוקטור הכוח.

בצורה גרפית העבודה היא השטח הכלוא תחת הגרף כוח-מקום

הערות

• עבודה היא גודל סקלרי.
• עבודה יכולה להיות חיובית שלילית או אפס, דבר זה תלוי בזוית שבין וקטור הכח לוקטור העתק.
• יחידות העבודה הם ג'ול (ששוות מטר כפול ניוטון) והסימון הוא J (היחידות כתובות בסוגריים המרובעים): $W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}=[N\cdot m]=[J]$ ,‏ 1 ג'ול שוה לכוח בגודל 1 ניוטון הפועל (ומקביל) לאורך 1 מטר.
• אפשר להתייחס לעבודה של כוח בודד גם אם על הגוף פועלים עוד כוחות.
• סך העבודות של כל כוח בנפרד שווה לעבודת הכוח השקול

$W'=\sum _{k=1}^{n}W_{k}=W_{1}+\cdots +W_{n}$

כאשר $W'$ עבודת הכוח השקול.

כוחות משמרים

כוחות משמרים אלו כוחות שעבודתם תלויה רק בהעתק (ולא במסלול שעברו) במילים אחרות אם יחזרו למקום שממנו יצאו סך העבודה שהכוח המשמר עשה על הגוף יהיה שווה לאפס.

כוחות משמרים לדוגמא: הכבידה, האלסטיות, החשמל ועוד. כוחות לא משמרים לדוגמה: החיכוך ועוד

אנרגיה

לא נתעכב על השאלה מהי בעצם אנרגיה אלא נתייחס לצדדים המעשיים שלה.

• היחידות של אנרגיה הם גם כן ג'ול.
• אנרגיה היא גודל סקלרי.
• על-פי חוק שימור האנרגיה לא נאבדת אנרגיה אלא היא מחליפה צורה או עוברת לגוף אחר.

נפרט עכשיו כמה מהסוגים של האנרגיה:

אנרגיה קינטית או אנרגיית תנועה. מסומנת וגודלה מוגדר:

$E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

כאשר $m$ מסת הגוף, $v$ מהירותו.

אנרגיה פוטנציאלית כובדית או אנרגיית הכובד. מסומנת וגודלה מוגדר:

$U_{g}=E_{p}=m\cdot g\cdot h$

כאשר $m$ מסת הגוף, $g$ תאוצת גוף חופשי, $h$ גובה הגוף ממישור היחוס. מישור היחוס הוא המישור ממנו מתחילים למדוד את גובה הגוף, מישור זה נקבע שרירותית ולפי הנוחות. למעשה משום שרוב החישובים שלנו עם אנרגיה זו יהיו על ההפרשים בין נקודות לא ישנה איפה נקבע את מישור היחוס.

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית או אנרגיה אלסטית. מסומנת וגודלה מוגדר:

$U_{sp}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$

כאשר $k$ קבוע הקפיץ, $x$ ההעתק מנקודת הרפיון של הקפיץ.

בהמשך נסביר את הסיבה לקביעת גדלים אלו כאנרגיות.

משפט עבודה-אנרגיה

נקח לדוגמא כוח (השקול) שפועל על גוף בכיוון התנועה של הגוף, המשוואות הבאות מתארות את הפעולה של הכוח.

על-פי החוק השני של ניוטון: ⁽¹⁾‏ ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

על-פי משוואות התנועה תנועת הגוף מתוארת במשוואה הבאה: ⁽²⁾‏ $v_{t}^{2}=v_{0}^{2}+2a(x_{t}-x_{0})$

על-פי המשוואה הראשונה מתקיים השוויון הבא: $a={\frac {F}{m}}$

נציב את התוצאה הזו במשוואה השניה ונקבל: $v_{t}^{2}=v_{0}^{2}+{\frac {2F\cdot (x_{t}-x_{0})}{m}}$

נסדר את המשוואה ונקבל: $F\cdot (x_{t}-x_{0})={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}={\tfrac {1}{2}}mv_{t}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}$

כלומר עבודת הכוח השקול שווה לשנוי באנרגיה הקינטית משוואה זו נקראת משפט עבודה-אנרגיה: ${\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}=\Delta E_{k}$

אנרגיה מכאנית ושימורה

נדמיין לעצמנו שגוף נע מנקודה A לנקודה B בהשפעת כוח משמר כתוצאה מאותו הכוח האנרגיה הקינטית שלו משתנה, במידה מסוימת השינוי באנרגיה לא תלוי במסלול שהגוף עבר בו, אפשר לומר אם כן שיש פוטנציאל לאנרגיה קינטית בין הנקודות A ל-B (הפוטנציאל יכול להיות חיובי אם האנרגיה הקנטית עולה או שלילית אם יורדת) למעשה הפוטנציאל מוגדר תמיד בין שתי נקודות שנמצאות בהשפעת הכוח המשמר (אין אפשרות לומר שיש פוטנציאל מסוים בין שתי נקודות שמושפעות מכוח לא משמר כיוון שאנרגיית הגוף בסוף המסלול תלויה גם בדרך).

לכן אנו יכולים להגדיר גודל חדש, אנרגיה פוטנציאלית (המסומנת ב-U) כלומר כמה פוטנציאל לאנרגיה קינטית יש בנקודה מסוימת לשם נוחות אנו קובעים מישור יחוס כלומר מקום בו הגדרנו שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס וכך כל נקודה בהשפעת הכוח המשמר יכולה לקבל ערך פוטנציאלי יחיד, חישוב הפוטנציאל בין שתי נקודות כלשהן נעשה ע"י חיסור ערך האנרגיה הפוטנציאלית של האחרונה מהראשונה, או בצורה מתמטית: הפוטנציאל לאנרגיה בין שתי נקודות $U_{1}-U_{2}=$ .

• חשוב להבהיר שאנרגיה פוטנציאלית זה אנרגיה לכל דבר.
• ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית לכל כוח משמר סימן אנרגיה זו נעשה ע"י כתיבת שם הכוח באותיות תחתיות מימין ל-U.
• היחידות של אנרגיה פוטנציאלית הן ג'ול.
• מיקום מישור היחוס אין לו משמעות מבחינת הפוטנציאל בין נקודות ומאחר שהפרש זה הוא העיקר אנו קובעים את מיקום מישור הייחוס לפי הנוחות.

מהדברים שלמעלה יוצא שהפוטנציאל בין הנקודות שווה לשינוי באנרגיה הקינטית בין אותם הנקודות או בצורה מתמטית:

$\Delta E_{k}=U_{1}-U_{2}=-(U_{2}-U_{1})=-\Delta U$

נפתח את המשוואה הזו ונקבל:

$E_{k2}-E_{k1}=U_{1}-U_{2}$

נעביר אגפים ונקבל:

$E_{k1}+U_{1}=E_{k2}+U_{2}$

ממשוואה זו יוצא שסך האנרגיה הקינטית והאנרגיות הפוטנציאליות שווה בכל נקודה לאורך המסלול שהגוף עבר בו אנרגיה זו (הקינטית ועוד הפוטנציאלית) נקראת אנרגיה מכאנית (ומסומנת E)

• כאשר עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לאפס אין שינוי באנרגיה המכאנית.
• אם יש כוח לא משמר העבודה הנעשית על ידו שווה לשינוי באנרגיה המכאנית.
• למעשה גם כשיש כוח לא משמר האנרגיה נשמרת היא פשוט נהפכת לסוגים אחרים של אנרגיה שלא נכללים באנרגיה המכאנית, לדוגמא חיכוך הופך אנרגיה מכאנית לחום כלומר לאנרגית חום.

דברים אלו יובנו יותר עם פירוט אנרגיות פוטנציאליות ספציפיות:

אנרגיה פוטנציאלית כובדית ($U_{g}$)

נסביר את הסיבה לכך שבחרנו את mgh כגודל האנרגיה הפוטנציאלית כובדית. נתבונן בתרחיש הבא: כדור בעל מסה m משוחרר ממנוחה בנפילה חופשית ללא חיכוך. נתמקד בקטע ממסלולו בין הנקודות $h_{1}$ ל- $h_{2}$ .

העבודה שכוח הכובד עשה בקטע זה שווה: $W_{g}=|{\vec {F}}_{g}|\cdot |\Delta {\vec {h}}|\cdot \cos(0)$ הזוית היא אפס כיון שכיוון הכוח וההעתק זהה.

• כזכור כוח הכובד שווה ${\vec {F}}_{g}=m{\vec {g}}$ .
• מאחר ו- $h_{1}>h_{2}$ ו- $\Delta h$ נמצא בערך מוחלט אפשר לעשות: $|\Delta {\vec {h}}|=h_{1}-h_{2}$

לכן העבודה שווה גם:

${\begin{aligned}W_{g}&=|{\vec {F}}_{g}|\cdot |\Delta {\vec {h}}|\cdot \cos(0)\\&=mg\cdot (h_{1}-h_{2})=mgh_{1}-mgh_{2}=-(mgh_{2}-mgh_{1})=-\Delta (mgh)=-\Delta U_{g}\end{aligned}}$

ומאחר ועבודה שווה לשינוי באנרגיה הקנטית מתקבל: $W_{G}=\Delta E_{k}=-\Delta U_{G}$

נפתח את המשוואה הנ"ל ונקבל: $E_{k2}-E_{k1}=-(U_{g2}-U_{g1})=U_{g1}-U_{g2}$

נעביר אגפים ונקבל: $E_{k1}+U_{g1}=E_{k2}+U_{g2}$

כלומר סכום האנרגיות (הפוטנציאלית כובדית והקינטית) בין שתי הנקודות כלומר שהאנרגיות נשמרות לאורך המסלול.

אנרגיה פוטנציאלית אלסטית ($U_{sp}$)

• הכוח שהקפיץ מפעיל הוא כוח משמר.
• נזכיר הכוח של הקפיץ שווה: ${\vec {F}}_{sp}=-k\Delta {\vec {x}}$ .

נתבונן בקפיץ בעל קבוע כוח $k$ שמכווץ עד נקודה $x_{1}$ ואז מכווצים אותו עוד עד נקודה $x_{2}$ , נחשב את העבודה שהקפיץ עשה בין שתי נקודות אלו:

השרטוט הבא מתאר את העבודה:

נחשב את השטח הצבוע (שהוא מייצג את העבודה), אפשר לחשב את השטח ע"י חישוב שטח המשולש ABD והפחתה משטח זה את שטח המשולש ECD:‏

${\begin{aligned}S_{ABD}&=-{\tfrac {1}{2}}kx_{2}^{2}\\S_{ECD}&=-{\tfrac {1}{2}}kx_{1}^{2}\end{aligned}}$

ולכן העבודה שווה:

$W_{sp}=-{\tfrac {1}{2}}kx_{2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}kx_{1}^{2}=-\left({\tfrac {1}{2}}kx_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}kx_{1}^{2}\right)=-\Delta \left({\tfrac {1}{2}}kx^{2}\right)$

אנו קובעים את מישור הייחוס כשהקפיץ רפוי ולכן האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית נקבעה כך:

$U_{sp}={\tfrac {1}{2}}k\Delta x^{2}$

כאשר $k$ קבוע הקפיץ, $\Delta x$ ההעתק מהמקום בו הקפיץ נמצא במצב רפוי.

• יש לשים לב שהאנרגיה הפוטנציאלית הזו תהיה חיובית בין אם מכווצים את הקפיץ בין אם מותחים אותו.

דוגמה לשימור אנרגיה מכאנית

בשרטוט הבא מוצג כדור בעל מסה $m$ המשוחרר ממנוחה מגובה $h'$ מעל הרצפה, תחתיו מונח קפיץ בעל קבוע $k$ גובה הקפיץ מעל הרצפה כשהוא במצב המכווץ המקסימלי הוא H, החיכוך עם האוויר זניח. בשרטוט מוצגים חמישה מצבים עוקבים:

A - בתחילת התנועה

B - הכדור נושק לקפיץ

C - הקפיץ מכווץ במצב המקסימלי

D - הכדור נושק לקפיץ וכיוונו כלפי מעלה

E - הכדור בגובה מקסימלי.

שאלה: מה ערך האנרגיות הקינטית, הפונטציאלית-כובדית, הפוטנציאלית-אלסטית והמכאנית בכל אחד מהמצבים?

נתונים

$m=0.5kg\ ,\ h'=20m\ ,\ k=10{\frac {N}{m}}\ ,\ H=4m$

פתרון.

נקבע את מישור הייחוס בגובה שבו הקפיץ נמצא במצב המכווץ המקסימלי שלו.

A: מאחר והכדור משוחרר ממנוחה כלומר אין לו מהירות הקפיץ רפוי האנרגיות הקינטית והאלסטית שוות לאפס ובצורה מתמטית:

$E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}0.5\cdot 0^{2}=0\ ,\ U_{sp}={\tfrac {1}{2}}k\Delta x^{2}={\tfrac {1}{2}}\cdot 10\cdot 0^{2}=0$

האנרגיה הפוטנציאלית-כובדית תלויה בגובה הנמדד ממישור הייחוס (h) במצב A גובה זה שווה: $h=h'-H$ ולכן האנרגיה שווה:

$U_{g}=mgh=mg(h'-H)=0.5\cdot 10(20-4)=80J$

האנרגיה המכאנית היא סכום האנרגיות הפוטנציאלית-כובדית והאלסטית והקינטית ובצורה מתמטית:

$E=E_{k}+U_{g}+U_{sp}=0+80+0=80$

נקפוץ למצב C: במצב זה אין קינטית (אחרת הקפיץ היה ממשיך להתכווץ) ואין פוטנציאלית-כובדית מאחר וקבענו את מישור הייחוס בגובה זה, על-פי חוק שימור האנרגיה המכאנית זו במצב A שווה לאנרגיה המכנית במצב C ומאחר שהאנרגיה המכאנית במצב A מורכבת רק מהפוטנציאלית-כובדית ובמצב C רק מאנרגיה פוטנציאלית-אלסטית שתי האנרגיות שוות ובצורה מתמטית:

$E_{A}=E_{C}\ ,\ E_{A}=U_{g}\ ,\ E_{C}=U_{sp}\ ,\ U_{g,A}=U_{sp,C}=80J$

נשוב למצב B: במצב זה הקינטית היא הגבוהה ביותר לאורך המסלול, אין פוטנציאלית-אלסטית ויש פוטנציאלית-כובדית. נחשב זאת בצעדים הבאים:
ראשית נמצא את הגובה ממישור הייחוס שבו הקפיץ רפוי על-ידי חישוב גודל הכיווץ של הקפיץ במצב המכווץ המקסימלי:

$U_{sp,C}={\tfrac {1}{2}}k\Delta x^{2}=80$

$\Delta x={\sqrt {\frac {2\cdot 80}{k}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 80}{10}}}=4m$

כלומר הגובה ממישור הייחוס עד לגובה בו הקפיץ רפוי הוא 4 מטר, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית-כובדית שווה:

$U_{g,B}=mgh_{B}=0.5\cdot 10\cdot 4=20J$

על פי חוק שימור האנרגיה אנו יודעים שהאנרגיה המכאנית שווה $80J$ ומורכבת מאנרגיה קינטית ופוטנציאלית-כובדית ולכן:

$E_{B}=E_{k,B}+U_{g,B}=80$

$E_{k,B}=80-U_{g,B}=80-20=60J$

D: מצב זה דומה למצב B אין אנרגיה פוטנציאלית-אלסטית (הקפיץ רפוי), הפוטנציאלית-כובדית שווה לזו שבמצב B מאחר והגובה של הכדור זהה. בגלל שימור האנרגיה - הקינטית שווה בשני המצבים.

E: מצב זה דומה למצב A בשתי המצבים אין פוטנציאלית-אלסטית וכן אין קינטית (אחרת הגוף היה ממשיך לעלות במצב E) לכן לפי שימור האנרגיה - הפוטנציאלית-כובדית שווה בשתי המצבים מה שאומר שגובה הכדור בשתי המצבים זהה.

• הערת אגב אם אין חיכוך עם האויר תנועה זו (מעלה מטה) תמשיך לנצח.

תשובה סופית:

	אנרגיה מכאנית $E$	אנרגיה קינטית $E_{k}$	אנרגיה פוטנציאלית-כובדית $U_{g}$	אנרגיה פוטנציאלית-אלסטית $U_{sp}$
A	$80J$	$80J$	$0$	$0$
B		$60J$	$20J$
C		$0$	$0$	$80J$
D		$60J$	$20J$	$0$
E		$80J$	$0$

סיכום

עבודה: $W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}=|{\vec {F}}|\cdot |\Delta {\vec {x}}|\cdot \cos(\alpha )$

אנרגיה קינטית: $E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

אנרגיה פוטנציאלית-כובדית: $U_{g}=m\cdot g\cdot h$

אנרגיה פוטנציאלית-אלסטית: $U_{sp}={\tfrac {1}{2}}k\Delta x^{2}$

אנרגיה מכאנית: $E=E_{k}+U_{g}+U_{sp}$

משפט עבודה-אנרגיה: $W=\Delta E_{k}$

פתרון הבעיה

כעת נפתור את הבעיה מתחילת הפרק. הבעיה היתה: כדור משוחרר ממנוחה מראש מסלול בצורת רבע מעגל בעל רדיוס בגודל מטר אחד ללא חיכוך, מה תהיה מהירותו בסוף המסלול?

פתרון.

נגדיר את מישור הייחוס בסוף המסלול כך שבתחילתו יש לכדור אנרגיה פוטנציאלית $mg\cdot 1$ . כיון שהכדור שוחרר ממנוחה אין לו אנרגיה קינטית.

בסוף המסלול אין לכדור אנרגיה פוטנציאלית (כיון שקבענו את מישור הייחוס בסוף המסלול) ולכן בגלל חוק שימור אנרגיה מכאנית כל האנרגיה הפוטנציאלית הפכה לאנרגיה קינטית.

נחשב זאת: $mg\cdot 1={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

נצמצם ונסדר את המשוואה: $v={\sqrt {2g}}\approx 4.5$

כלומר המהירות של הכדור בסוף המסלול תהיה בערך $4.5{\frac {m}{s}}$

הפרק הקודם: דינמיקה

עבודה ואנרגיה תרגילים

הפרק הבא: התנע ושימורו