פיזיקה קוונטית/מודל אטום המימן של נילס בוהר

התפתחות מודל האטום

מודל עוגת הצימוקים

האטום נחשב משך שנים כבלתי ניתן לחלוקה (ומכאן שמו, ביוונית). בשנת 1897 גילה ג' ג' תומסון את האלקטרון כחלק של האטום (ועל כך זכה בפרס נובל לפיסיקה בשנת 1906). נדרש איפה הסבר למיקומו של האלקטרון בתוך האטום. כיוון שידוע היה שאטומים הם בדרך כלל בעלי ניטרליות חשמלית, הרי שמתחייב שקיים בהם מטען חיובי באותה כמות שבה קיים מטען שלילי.
תומסון הציע את מודל עוגת הצימוקים. המודל מדמה את האטום לעוגת צימוקים - מטען חשמלי חיובי מרוח בצורה הומוגנית על פני עיקר האטום, שהוא כדור צפיד (כמו במודל של ג'ון דלטון), ועל פני כדור חיובי זה מפוזרים האלקטרונים, שהם חלקיקי מטען שלילי נקודתיים - כמו צימוקים בעוגה.

המודל הפלנטרי

בשנת 1909 ערכו הנס גייגר וארנסט מרסדן בהדרכתו של ארנסט רתרפורד במעבדות הפיזיקה של אוניברסיטת מנצ'סטר, ניסוי שבו הופגזו עלי זהב דקים בחלקיקי אלפא (הליום מיונן), אשר נודע בשם ניסוי רתרפורד. פרטי הניסוי והסברם נופלים כולם בתחום הפיזיקה הקלסית ונלמדים במסגרת הקורס במכניקה אנליטית, ולכן לא נפרטם פה. עם זאת נציין את התוצאות והמסקנות: ע"פ מודל עוגת הצימוקים, היו צריכים לעבור החלקיקים דרך עלה הזהב ללא הפרעה. עם זאת, אחד מכל כמה אלפים של חלקיקים הוסטו ביותר מ-90 מעלות. הסבר יחיד אשר יכל לתת מענה לתוצאה זאת הוא כי המטען החיובי מרוכז במרכז האטום. המודל החדש, אותו הציע רתרפורד בשנת 1911, כונה המודל הפלנטרי ועל פיו מבנה האטום הוא גרעין חיובי קטן אותו מקיפים אלקטרונים, בדומה לאופן שבו מקיפות הפלנטות במערכת השמש את השמש.

כבר עם הצעתו של המודל הפלנטרי היה ברור כי יש בו בעייה מרכזית, והיא חוסר תאימותו לכל הידוע על אלקטרומגנטיות. על פי התורה הקלסית לאלקטרו מגנטיות, גוף נושא מטען הנמצא בתאוצה (תנועה מעגלית היא תנועה בתאוצה רדיאלית) פולט קרינה אלקטרו מגנטית ובכך מאבד אנרגיה.

כשלון המודל הפלנטרי

כדי לנתח את המודל, המבוסס על פיסיקה קלסית, משתמשים במכניקה ניוטונית ובאלקטרומגנטיות:

לגוף הנע בתאוצה רדיאלית ידוע כי מתקיים $a={\frac {v^{2}}{r}}$ .
הכוח החשמלי אשר צריך להחזיק את האלקטרון בתנועתו סביב הגרעין: $F={\frac {ke^{2}}{r^{2}}}$ .

נציב שתי משוואות אלו לתוך חוק ניוטון השני ( $\ F=ma$ ) ונקבל את הקשר: ${\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}$ או ${\frac {ke^{2}}{r}}={m_{e}v^{2}}$ .

מהצבה לתוך ביטוי האנרגיה הכוללת של האלקטרון: $E=E_{k}+E_{p}={\frac {m_{e}v^{2}}{2}}-{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {ke^{2}}{2r}}$

קשר זה מכיל גדלים שניתן היה להעריך בתקופה בה הוצע המודל, כאשר ידוע כי עבור אטום המימן יון|אנרגיית הינון היא בקרוב $\ E=13.6eV$ , וכי רדיוס האטום הוא בקרוב $\ R=0.529A$ . הקשר שהתקבל מתאים לגדלים מדודים אלו, ומראה על הצלחה מסוימת של המודל.

למול הצלחה זו מגיע כישלון, המתבטא בהערכת זמן הקריסה של האלקטרון לתוך הגרעין. קריסה זו נובעת מפליטת האנרגיה של גוף טעון במטען אלקטרומגנטי המאיץ. קצב פליטת האנרגייה של גוף בתאוצה הוא: ${\frac {dE}{dt}}={\frac {2ke^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

מהצבת ביטוי האנרגיה שהתקבל למשוואה זו, ובשינוי סדר של האיברים מקבלים: ${\frac {ke^{2}}{2r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}={\frac {2ke^{2}}{3c^{3}}}\left({\frac {ke^{2}}{m_{e}r^{2}}}\right)^{2}$ זהו מד"ר ב-r ו-t אשר פתרונו מניב את הקשר: $t={\frac {m_{e}^{2}c^{3}k^{2}e^{4}}{32|E|}}$ .

מהצבת אנרגיית הינון של אטום המימן $\ E=13.6eV$ ושאר הגדלים הידועים (מהירות האור, מסת האלקטרון וכו') מתקבל כי זמן הקריסה המוערך הוא: $t<2\times 10^{-}11sec$ . ידוע לנו כי אטום המימן הוא אטום יציב וכאן מתקיימת סתירה.

סימונים בהם נעשה שימוש

$\ k$ קבוע קולון.
$\ e$ מטען האלקטרון.
$\ m_{e}$ מסת האלקטרון.
$\ c$ מהירות האור.
$\ E_{k}$ אנרגיה קינטית.
$\ E_{p}$ אנרגיה פוטנציאלית.

ספקטרום הפליטה

ספקטרום פליטה של חנקן בתחום האור הנראה

במקביל למודלים השונים, ניסויים מסוף המאה ה-19 גילו כי כאשר חומר עובר עירור אנרגטי (מוכנסת לחומר אנרגייה למשל ע"י מחימום, פגיעת אלקטרונים, הקרנת פוטונים מאורכי גל שונים ועוד) הקרינה הנפלטת ממנו, נפלטת בתדרים בדידים.
ניסויים באטום המימן הראו כי קיימות סדרות של קווי פליטה המקיימות יחס מתמטי קבוע. הסדרה הראשונה שהתגלתה קיימה חוקיות....
המודל הפלנטרי לא יכל להסביר גם את הניסוי הזה.

הצעתו של בוהר

על-מנת להתגבר על קשיים אלה הציע נילס בוהר ב-1913 תיקונים למודל הפלנטרי, המודל המשופר נודע היום בשם מודל האטום של בוהר. עקרונות המודל הם:

האלקטרונים יכולים להיות רק במספר מסלולים סביב הגרעין.
חוקי המכניקה הקלאסית לא חלים במעבר אלקטרון ממסלול למסלול.
כאשר אלקטרון "קופץ" ממסלול למסלול הפרש האנרגיות נישא, או מסופק, על-ידי מנת אנרגיה (הקרויה היום פוטון) שהאנרגיה שלה שווה להפרש האנרגיות בין המסלולים.
המסלולים המותרים תלויים בערכים ספורים של תנע זוויתי על-פי הנוסחה:
$\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$
כאשר n הוא מספר טבעי כלשהו המייצג את מספר המסלול (1- ה"נמוך ביותר" המותר) ו-h הוא קבוע פלאנק.

יש לשים לב שמודל זה עדיין לא משתמש במכניקת קוונטים. הנחה 2 לא אומרת אילו חוקים מחליפים את חוקי המכניקה הקלאסית בעת "קפיצת" האטום, והנחה 4 לא מסבירה מדוע המסלולים תלויים דווקא בתנע הזוויתי.

ניתוח מודל בוהר

על מנת לנתח את המודל החדש ותוצאותיו, אנחנו ממשיכים להשתמש במשוואות המכניקה והאלקטרומגנטיות המוכרות ומגיעים למשוואה שכבר הגענו אליה:

${\frac {ke^{2}}{r}}={m_{e}v^{2}}$

כעת אנו מוסיפים את ההנחה:

$mvr=\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$

ומקבלים: $r_{n}={\frac {L^{2}}{m_{e}ke^{2}}}=\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}{\frac {1}{m_{e}ke^{2}}}n^{2}$ .
נוהגים לסמן $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ וכן $a_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{e}ke^{2}}}$ ואז התוצאה היא: $r_{n}=a_{0}n^{2}$ .
כלומר, קיבלנו תוצאה שבה רדיוס ההקפה של האלקטרון את הגרעין יכול לקבל ערכים בדידים בלבד ולא את כל טווח הערכים האפשרי.
בזמנו לא ידע בוהר להסביר מדוע ההנחה אשר הכניס היא הנחה נכונה, אבל ההתאמה לתוצאות הניסויות הייתה טובה. בהמשך כאשר יוסבר על מבנה אטום המימן ע"י התורה הקוונטית המלאה ניתן יהיה להיווכח כי התוצאה הזו מתאימה לתורה המדויקת.