מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 99 סעיף 9

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +({\frac {-1}{3}})^{n-1}={\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}}^{n}]$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:({\frac {-1}{3}})^{n-1}=({\frac {-1}{3}})^{0}=1\\&R:{\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}})^{n}]={\frac {3}{4}}*[1-({\frac {-1}{3}})^{1}]={\frac {3}{4}}*{\frac {4}{3}}=1\\&1=1\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +({\frac {-1}{3}})^{k-1}={\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}}^{k}]$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +({\frac {-1}{3}})^{k-1}} _{={\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}}^{k}]}+({\frac {-1}{3}})^{k}={\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}}^{k+1}]\\&{\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}}^{k})]+({\frac {-1}{3}})^{k}={\frac {3}{4}}[1-({\frac {-1}{3}})^{k+1}]\\&3-3({\frac {-1}{3}})^{k}+({\frac {-1}{3}})^{k}=3*[1-({\frac {-1}{3}})^{k}*({\frac {-1}{3}})]3\\&3-3({\frac {-1}{3}})^{k}+({\frac {-1}{3}})^{k}=3-3({\frac {-1}{3}})^{k}*({\frac {-1}{3}})]/:({\frac {-1}{3}})^{k}-3\\&-3+4=-3*({\frac {-1}{3}})\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.