מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 99 סעיף 22

${\frac {4}{1*3}}-{\frac {8}{3*5}}+{\frac {12}{5*7}}-{\frac {16}{7*9}}+\cdots +{\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}*2n}{(n-1)(n+1)}}=1+{\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}+1}}{n+1}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&L:({\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}*2n}{(n-1)(n+1)}}={\frac {(-1)^{1}*4}{1*3}}={\frac {4}{1*3}}=1{\frac {1}{3}}\\&R:1+{\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}+1}}{n+1}}=1+{\frac {(-1)^{2}}{3}}=1{\frac {1}{3}}\\&1{\frac {1}{3}}=1{\frac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {4}{1*3}}-{\frac {8}{3*5}}+{\frac {12}{5*7}}-{\frac {16}{7*9}}+\cdots +{\frac {(-1)^{{\frac {k}{2}}-1}*2k}{(k-1)(k+1)}}=1+{\frac {(-1)^{{\frac {k}{2}}+1}}{k+1}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {4}{1*3}}-{\frac {8}{3*5}}+{\frac {12}{5*7}}-{\frac {16}{7*9}}+\cdots +{\frac {(-1)^{{\frac {k}{2}}-1}*2k}{(k-1)(k+1)}}} _{=1+{\frac {(-1)^{{\frac {k}{2}}+1}}{k+1}}}+{\frac {(-1)^{{\frac {k+2}{2}}-1}*2(k+2)}{(k+1)(k+3)}}=1+{\frac {(-1)^{{\frac {k+2}{2}}+1}}{k+3}}\\&1+{\frac {(-1)^{{\frac {k}{2}}+1}}{k+1}}+{\frac {(-1)^{{\frac {k+2}{2}}-1}*2(k+2)}{(k+1)(k+3)}}=1+{\frac {(-1)^{{\frac {k+2}{2}}+1}}{k+3}}\\&(k+3)(-1)^{\frac {k+1}{2}}+(-1)^{{\frac {k}{2}}+{\frac {2}{2}}-{\frac {2}{2}}}*2(k+2)=(k+1)(-1)^{{\frac {k}{2}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{2}}}\\&-(k+3)(-1)^{\frac {k}{2}}+(-1)^{\frac {k}{2}}*2(k+2)=(k+1)(-1)^{\frac {k}{2}}:/(-1)^{\frac {k}{2}}\\&-k-3+2k+4=(k+1)\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.