מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 99 סעיף 18

${\frac {2}{1!}}-{\frac {3}{2!}}+{\frac {4}{3!}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}(n+1)}{n!}}=1+{\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:{\frac {(-1)^{n-1}(n+1)}{n!}}={\frac {1*2}{1!}}={\frac {2}{1}}=2\\&R:1+{\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}=1+{\frac {1}{1}}=2\\&2=2\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {2}{1!}}-{\frac {3}{2!}}+{\frac {4}{3!}}-\cdots +{\frac {(-1)^{k-1}(k+1)}{k!}}=1+{\frac {(-1)^{k+1}}{k!}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {2}{1!}}-{\frac {3}{2!}}+{\frac {4}{3!}}-\cdots +{\frac {(-1)^{k-1}(k+1)}{k!}}=} _{=1+{\frac {(-1)^{k+1}}{k!}}}+{\frac {(-1)^{k}(k+2)}{(k+1)!}}=1+{\frac {(-1)^{k+2}}{(k+1)!}}\\&1+{\frac {(-1)^{k+1}}{k!}}+{\frac {(-1)^{k}(k+2)}{(k+1)!}}=1+{\frac {(-1)^{k+2}}{(k+1)!}}\\&(k+1)(-1)^{k+1}+(-1)^{k}(k+2)=(-1)^{k+2}\\&(k+1)(-1)^{k+1}-(-1)^{k+1}(k+2)=(-1)^{k+1}\\&k+1-k-2=1\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.