− 1 2 + 2 2 − 3 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) 2 = 1 2 ( − 1 ) n − 1 ( n 2 − n ) {\displaystyle -1^{2}+2^{2}-3^{2}+\cdots +(-1)^{n-1}(n-1)^{2}={\frac {1}{2}}(-1)^{n-1}(n^{2}-n)}
L : ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) 2 = ( − 1 ) 2 − 1 ( 2 − 1 ) 2 = − 1 R : 1 2 ( − 1 ) n − 1 ( n 2 − n ) = 1 2 ( − 1 ) 1 ( 2 2 − 2 ) = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:(-1)^{n-1}(n-1)^{2}=(-1)^{2-1}(2-1)^{2}=-1\\&R:{\frac {1}{2}}(-1)^{n-1}(n^{2}-n)={\frac {1}{2}}(-1)^{1}(2^{2}-2)=-1\\&-1=-1\\\end{aligned}}}
− 1 2 + 2 2 − 3 2 + ⋯ + ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) 2 = 1 2 ( − 1 ) k − 1 ( k 2 − ) {\displaystyle -1^{2}+2^{2}-3^{2}+\cdots +(-1)^{k-1}(k-1)^{2}={\frac {1}{2}}(-1)^{k-1}(k^{2}-)}
− 1 2 + 2 2 − 3 2 + ⋯ + ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) 2 ⏟ = 1 2 ( − 1 ) k − 1 ( k 2 − ) + ( − 1 ) k ∗ k 2 + ( − 1 ) k + 1 ( k + 1 ) 2 = 1 2 ( − 1 ) k + 1 [ ( k + 2 ) 2 − ( k + 2 ) ] 1 2 ( − 1 ) k − 1 ( k 2 − ) + ( − 1 ) k ∗ k 2 + ( − 1 ) k + 1 ( k + 1 ) 2 = 1 2 ( − 1 ) k + 1 [ ( k + 2 ) 2 − ( k + 2 ) ] − ( − 1 ) k ( k 2 − k ) + 2 ( − 1 ) k ∗ k 2 − 2 ( − 1 ) k ( k + 1 ) 2 = − 1 2 ( − 1 ) k ( k 2 + 4 k + 4 − k − 2 ) − k 2 + k + 2 k 2 − 2 k 2 − 4 k − 2 = − k 2 − 3 k − 2 − k 2 − 3 k − 2 = − k 2 − 3 k − 2 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {-1^{2}+2^{2}-3^{2}+\cdots +(-1)^{k-1}(k-1)^{2}} _{={\frac {1}{2}}(-1)^{k-1}(k^{2}-)}+(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{k+1}(k+1)^{2}={\frac {1}{2}}(-1)^{k+1}[(k+2)^{2}-(k+2)]\\&{\frac {1}{2}}(-1)^{k-1}(k^{2}-)+(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{k+1}(k+1)^{2}={\frac {1}{2}}(-1)^{k+1}[(k+2)^{2}-(k+2)]\\&-(-1)^{k}(k^{2}-k)+2(-1)^{k}*k^{2}-2(-1)^{k}(k+1)^{2}={\frac {-1}{2}}(-1)^{k}(k^{2}+4k+4-k-2)\\&-k^{2}+k+2k^{2}-2k^{2}-4k-2=-k^{2}-3k-2\\&-k^{2}-3k-2=-k^{2}-3k-2\\&0=0\\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
טבעי
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {-1^{2}+2^{2}-3^{2}+\cdots +(-1)^{k-1}(k-1)^{2}} _{={\frac {1}{2}}(-1)^{k-1}(k^{2}-)}+(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{k+1}(k+1)^{2}={\frac {1}{2}}(-1)^{k+1}[(k+2)^{2}-(k+2)]\\&{\frac {1}{2}}(-1)^{k-1}(k^{2}-)+(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{k+1}(k+1)^{2}={\frac {1}{2}}(-1)^{k+1}[(k+2)^{2}-(k+2)]\\&-(-1)^{k}(k^{2}-k)+2(-1)^{k}*k^{2}-2(-1)^{k}(k+1)^{2}={\frac {-1}{2}}(-1)^{k}(k^{2}+4k+4-k-2)\\&-k^{2}+k+2k^{2}-2k^{2}-4k-2=-k^{2}-3k-2\\&-k^{2}-3k-2=-k^{2}-3k-2\\&0=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12eca52fb32782d5cddf8ed3c6c0619d34ff05a)
