1 − 3 + 5 − 7 + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) = ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle 1-3+5-7+\cdots +(-1)^{n+1}(2n-1)=(-1)^{n+1}n}
L : ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) = ( − 1 ) 2 ( 2 − 1 ) = 1 R : ) ( − 1 ) n + 1 = ( − 1 ) 2 ∗ 1 = 1 1 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:(-1)^{n+1}(2n-1)=(-1)^{2}(2-1)=1\\&R:)(-1)^{n+1}=(-1)^{2}*1=1\\&1=1&\end{aligned}}}
1 − 3 + 5 − 7 + ⋯ + ( − 1 ) k + 1 ( 2 k − 1 ) = ( − 1 ) k + 1 k {\displaystyle 1-3+5-7+\cdots +(-1)^{k+1}(2k-1)=(-1)^{k+1}k}
1 − 3 + 5 − 7 + ⋯ + ( − 1 ) k + 1 ( 2 k − 1 ) ⏟ = ( − 1 ) k + 1 k + ( − 1 ) k + 2 ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k + 2 ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 k + ( − 1 ) k + 2 ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k + 2 ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 k + ( − 1 ) ( − 1 ) ( 2 k + 1 ) = ( − 1 ) k + 1 ( − 1 ) ( k + 1 ) k − 2 k − 1 = − k − 1 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {1-3+5-7+\cdots +(-1)^{k+1}(2k-1)} _{=(-1)^{k+1}k}+(-1)^{k+2}(2k+1)=(-1)^{k+2}(k+1)\\&(-1)^{k+1}k+(-1)^{k+2}(2k+1)=(-1)^{k+2}(k+1)\\&(-1)^{k+1}k+(-1)(-1)(2k+1)=(-1)^{k+1}(-1)(k+1)\\&k-2k-1=-k-1\\&0=0\\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
טבעי
