מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 96 סעיף 88

$8+24+48+80+\cdots +n(n+2)={\frac {n}{6}}(n+2)(n+4)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$ ($\ n$ טבעי זוגי)

${\begin{aligned}&L:n(n+2)=2(2+2)=8\\&R:{\frac {n}{6}}(n+2)(n+4)={\frac {2}{6}}(2+2)(2+4)=8\\&{\frac {1}{5}}={\frac {1}{5}}\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$8+24+48+80+\cdots +k(k+2)={\frac {k}{6}}(k+2)(k+4)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&\underbrace {8+24+48+80+\cdots +k(k+2)} _{={\frac {k}{6}}(k+2)(k+4)}+(k+2)(k+4)={\frac {k+1}{6}}(k+4)(k+6)\\&{\frac {k}{6}}(k+2)(k+4)+(k+2)(k+4)={\frac {k+2}{6}}(k+4)(k+6)\\&k(k+2)(k+4)+6(k+2)(k+4)=(k+2)(k+4)(k+6)\\&k+6=k+6\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.