מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 94 סעיף 52

$1+{\frac {2}{2}}+{\frac {3}{4}}+\cdots +{\frac {n}{2^{n-1}}}=4-{\frac {n+2}{2^{n-1}}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:{\frac {n}{2^{n-1}}}={\frac {1}{2^{1-1}}}=1\\&R:4-{\frac {n+2}{2^{n-1}}}=4-{\frac {1+2}{2^{1-1}}}=4-3=1\\&1=1\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1+{\frac {2}{2}}+{\frac {3}{4}}+\cdots +{\frac {k}{2^{k-1}}}=4-{\frac {k+2}{2^{k-1}}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {1+{\frac {2}{2}}+{\frac {3}{4}}+\cdots +{\frac {k}{2^{k-1}}}} _{=4-{\frac {k+2}{2^{k-1}}}}+{\frac {k+1}{2^{k}}}=4-{\frac {k+3}{2^{k}}}\\&4-{\frac {k+2}{2^{k-1}}}+{\frac {k+1}{2^{k}}}=4-{\frac {k+3}{2^{k}}}/*{\frac {2^{k}}{-4}}\\&-2(k+2)+9k+1)=-(k+3)\\&-2k-4+k+1=-k+3\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.