מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 93 סעיף 39

${\frac {1}{2*3*4}}+{\frac {2}{3*4*5}}+\cdots +{\frac {n}{(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {n(n+1)}{4(n+2)(n+3)}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:{\frac {n}{(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {1}{(2)(3)(4)}}={\frac {1}{24}}\\&R:{\frac {n(n+1)}{4(n+2)(n+3)}}={\frac {2}{4*3*4}}={\frac {1}{24}}\\&{\frac {1}{24}}={\frac {1}{24}}\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{2*3*4}}+{\frac {2}{3*4*5}}+\cdots +{\frac {k}{(k+1)(k+2)(k+3)}}={\frac {k(k+1)}{4(k+2)(k+3)}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{2*3*4}}+{\frac {2}{3*4*5}}+\cdots +{\frac {k}{(k+1)(k+2)(k+3)}}} _{={\frac {k(k+1)}{4(k+2)(k+3)}}}+{\frac {k+1}{(k+1)(k+2)(k+4)}}={\frac {(k+1)(k+2)}{4(k+3)(k+4)}}\\&frac{k(k+1)}{4(k+2)(k+3)}+{\frac {k+1}{(k+1)(k+2)(k+4)}}={\frac {(k+1)(k+2)}{4(k+3)(k+4)}}\\&k(k+1)(k+4)(k+1)*4=(k+1)(k+2)^{2}\\&k^{2}+4k+4=(k+2)^{2}\\&(k+2)^{2}=(k+2)^{2}\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.