מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 92 סעיף 26

$1*2*3*4+2*3*4*5+\cdots +n(n+1)(n+2)(n+3)={\frac {n}{5}}{\color {red}(n+1)}(n+2)(n+3)(n+4)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&R:n(n+1)(n+2)(n+3)=1*2*3*4=24\\&L:{\frac {n}{5}}(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)={\frac {1*2*3*4*5}{5}}=24\\&24=24\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1*2*3*4+2*3*4*5+\cdots +k(k+1)(k+2)(k+3)={\frac {k}{5}}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {1*2*3*4+2*3*4*5+\cdots +k(k+1)(k+2)(k+3)} _{={\frac {k}{5}}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}+{\color {red}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}={\frac {(k+1)}{5}}(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)\\&{\frac {k}{5}}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)={\frac {(k+1)}{5}}(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)/*{\frac {5}{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}}\\&k+5=k+5\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.