מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 92 סעיף 22

$15+48+105+\cdots +n(n+2)(n+4)={\frac {n}{4}}(n+1)(n+4)(n+5)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:n(n+2)(n+4)\rightarrow 1(1+2)(1+4)=15\\&R:{\frac {n}{4}}(n+1)(n+4)(n+5)\rightarrow {\frac {1}{4}}(1+1)(1+4)(1+5)=15\\&15=15\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$15+48+105+\cdots +k(k+2)(k+4)={\frac {k}{4}}(k+1)(k+4)(k+5)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {15+48+105+\cdots +k(k+2)(k+4)} _{={\frac {k}{4}}(k+1)(k+4)(k+5)}+{\color {red}(k+1)(k+3)(k+5)}={\frac {k+1}{4}}(k+2)(k+5)(k+6)/*{\frac {4}{(k+1)(k+5)}}\\&k(k+4)+4(k+3)=(k+2)(k+6)\\&k^{2}+4k+4k+12=k^{2}+8k+12\\&0=0\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.