מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 91 סעיף 4

$4+5+6+\cdots +(n+3)={\frac {n}{2}}(n+7)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}(1+3)={\frac {1}{2}}(1+7)\\4=4\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=-k$ טבעי

$4+5+6+\cdots +(k+3)={\frac {k}{2}}(k+7)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}\underbrace {4+5+6+\cdots +(k+3)} _{={\frac {k}{2}}(k+7)}+{\color {red}(k+1+3)}={\color {red}{\frac {k+1}{2}}(k+1+7)}\\{\frac {k}{2}}(k+7)+(k+4)={\frac {k+1}{2}}(k+8)/*2\\k(k+7)+2(k+4)=(k+1)(k+8)\\k^{2}+7k+2k+8=k^{2}+9k+8\\0=0\surd \\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.