מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 126 סעיף 11

• תרגיל קשה.

א

$1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:n(n+1)=1*2=2\\&R:{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}={\frac {6}{3}}=2\\&2=2\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {1*2+2*3+3*4+\cdots +k(k+1)} _{={\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}}+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&{\frac {k(k+1)(k+2)}{3}}+(k+1)(k+2)={\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}\\&k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/:(k+1)(k+2)\\&k+3=k+3\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.

ב - מצאת סכום

הסדרה : $(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)$ היא סדרת ההמשך של הסדרה $1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$ ולכן, אפשר לקרוא לה : $a_{2n}=(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)$

הסדרה המלא  : ${\begin{aligned}&an=1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)+{\color {green}(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)}\\&a_{1n}=1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}\\&a_{2n}=(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)\\\end{aligned}}$

לפיכך, אם נפחית את הסדרה פחות הסדרה הראשונה ($\ S_{an}-S_{1an}=S_{2an}$) נוכל למצוא את הסכום של הסדרה השנייה.
הדבר דומה לאם הייתה לנו את הסדרה : $\ 1+2+3+4+5+6+7=?$ והיינו רוצים את סכום הסדרה החל ממספר 4, היינו מורידים את הסכום של כל הסדרה, פחות כל הסדרה הראשונה : 1+2+3 ומקבלים את הסדרה השנייה.

נרשום את הנאמר בשפת המתמטיקה : $an-a_{1n}={\color {green}1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)+{\color {green}(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)}}-1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)$

אנו יודעים (על פי תרגיל א') שסכום הסדרה הראשונה שווה ל : $1*2+2*3+3*4+\cdots +n(n+1)={\color {blue}{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}$

אנו רוצים למצוא את סכום כל הסדרה כולל ($\ an$), נמצא אותו באמצעות הצבת האיבר האחרון של הסדרה $\ an$ בתבנית הסכום של הסדרה $\ a_{1}n$

(${\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$). 

שכן, מדובר באותה סדרה ולפיכך, אופן חישוב הסכום זהה. הפעולה אולי נשמעת קשה, אך, היא פשוטה למדי, כל שעלינו לעשות הוא להציב 2n במקום 1n (n).

סכום הסדרה הכוללת הוא :$S_{2an}=\color {green}{\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{3}}$.

נציב את סכומי הסדרות : ${\color {green}{\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{3}}}-{\color {blue}{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}$

ועתה נשאר רק לפתור :
${\begin{aligned}&{\color {green}{\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{3}}}-{\color {blue}{\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}}\\&{\frac {2n(2n+1)(2n+2)-n(n+1)(n+2)}{3}}\\&{\frac {2n(2n+1)2(n+1)-n(n+1)(n+2)}{3}}\\&{\frac {[n(n+1)][4(2n+1)-(n+2)]}{3}}\\&{\frac {n(n+1)(8n+4-n-2)}{3}}\\&{\frac {n(n+1)(7n-2)}{3}}\\\end{aligned}}$

ג

$(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)+(n+3)(n+4)+\cdots +2n(2n+1)={\frac {n(n+1)(7n-2)}{3}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:2n(2n+1)=2*1(2*1+1)\rightarrow (n+1)(n+2)=6\\&R:{\frac {n(n+1)(7n-2)}{3}}=6\\&6=6\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$(k+1)(k+2)+(k+2)(k+3)+(k+3)(k+4)+\cdots +2k(2k+1)={\frac {k(k+1)(7k+2)}{3}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {(k+2)(k+3)+(k+3)(k+4)+\cdots +2k(2k+1)} _{={\frac {k(k+1)(7k-2)}{3}}-(k+10(k+2)}+(2k+1)(2k+2)+(2k+2)(2k+3)={\frac {(k+1)(k+2)(7k+9)}{3}}\\&{\frac {k(k+1)(7k-2)}{3}}-(k+1)(k+2)+(2k+1)(2k+2)+(2k+2)(2k+3)={\frac {(k+1)(k+2)(7k+9)}{3}}\\&k(k+1)(7k+2)-3(k+1)(k+2)+6(2k+1)(k+1)+6(k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)(7k+9)/:(k+1)\\&k(7k+2)-3(k+2)+6(2k+1)+6(2k+3)=(k+2)(7k+9)\\&7k^{2}+2k-3k-6+12k+6+12k+18=7k^{2}+9k+14k+18\\&7k^{2}+23k+18=7k^{2}+23k+18\\&0=0\\&\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.