מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 115 סעיף 32

${\begin{aligned}&a_{1}=10\\&a_{n+1}=an+7^{n}+4*2^{n}\\&{\frac {an}{5}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {an}{5}}=\mathbb {Z} \\&a_{1}=10\\{\frac {a_{1}}{5}}={\frac {10}{5}}=1\\&2=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {a_{k}}{5}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {a_{k+1}}{5}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

על פי כלל הנסיגה

${\begin{aligned}&{\frac {a_{k+1}}{5}}=\mathbb {Z} \\&a_{k+1}={\frac {a_{k}+7^{k}+4*2^{k}}{5}}\\&{\frac {a_{k}}{5}}+{\frac {7^{k}+4*2^{k}}{5}}\\&{\frac {7^{k}+4*2^{k}}{5}}=p\\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה (P) עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&+{\frac {7^{1}+4*2^{1}}{5}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {15}{5}}=3\\&3=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ k=p$ טבעי

${\frac {7^{k}+4*2^{k}}{5}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=p+1

${\begin{aligned}&+{\frac {7^{p+1}+4*2^{p+1}}{5}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{p}*7+4*2^{p}*2}{5}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{p}*(2+5)+4*2^{k}*2}{5}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{p}*2+4*2^{p}*2}{5}}+{\frac {7^{k}*5}{5}}=\mathbb {Z} \\&2*\mathbb {Z} +7^{k}\\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

1. על פי ההנחה.
2. K מספר טבעי ולכן כל מספר בחזקת מספר טבעי שווה שלם.