מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 114 סעיף 3

${\begin{aligned}&a_{1}=2\\&a_{n+1}=a_{n}+2n+1\\&a_{n}=n^{2}+1\\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&&a_{n}=n^{2}+1=1^{2}+1=2\\&a_{1}=2\\2=2\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$\ a_{k}=k^{2}+1$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&a_{k+1}=(k+1)^{2}+1\\&a_{k+1}=k^{2}+2k+1+1\\\end{aligned}}$

על פי כלל הנסיגה

${\begin{aligned}&a_{k+1}=\underbrace {ak} _{k^{2}+1}+2k+1\\&a_{k+1}=k^{2}+1+2k+1\\&a_{k+1}=k^{2}+1+2k+1\\&a_{k+1}=k^{2}+2k+2\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.