מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 77

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {10^{3n+1}+(-1)^{n+1}*3}{7}}=Z$

$\ n$ זוגי עבור $\ (-1)^{n+1}*3=-3$ הביטוי שנקבל

${\frac {10^{3n+1}-3}{7}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&{\frac {10^{3n}-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{7}-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&1428571=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {10^{3k+1}*10^{6}-3}{7}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {10^{3k+7}-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{3k+1}*10^{6}-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{3k+1}*(1+999,999-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {10^{3k+1}-3}{7}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {10^{3k+1}*999,999}{7}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +10^{3k+1}*142857=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה.
2. $\ 10^{3k+1}$ שלם עבור K טבעי.
   

$\ n$ אי זוגי עבור $\ (-1)^{n+1}*3=3$ הביטוי שנקבל

${\frac {10^{3n+1}+3}{7}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=2$

${\begin{aligned}&{\frac {10^{3n+1}+3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{4}+3}{7}}=\mathbb {Z} \\&429=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {10^{3K+1}+3}{7}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {10^{3K+7}+3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{3k+1}*10^{6}+3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{3k+1}*(1+999,999)+3}{7}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {10^{3k+1}+3}{7}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {10^{3k+1}*999,999}{7}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +10^{3k+1}*142857=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה על פי ההנחה.
2. $\ 10^{3k+1}$ שלם עבור K טבעי.
   

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.