Z {\displaystyle \mathbb {Z} } - מספר שלם.
1 0 + 5 1 + 5 2 + ⋯ + 5 3 n − 1 31 = Z {\displaystyle {\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3n-1}}{31}}=\mathbb {Z} }
5 3 n − 1 31 = Z 5 3 − 1 31 → 1 0 + 5 1 + 5 2 = Z 1 = z √ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {5^{3n-1}}{31}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5^{3-1}}{31}}\rightarrow 1^{0}+5^{1}+5^{2}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {z} \surd \\\end{aligned}}}
1 0 + 5 1 + 5 2 + ⋯ + 5 3 k − 1 31 = Z {\displaystyle {\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3k-1}}{31}}=\mathbb {Z} }
1 0 + 5 1 + 5 2 + ⋯ + 5 3 k − 1 + 5 3 k + 5 3 k + 1 + 5 3 k + 2 31 = Z 1 0 + 5 1 + 5 2 + ⋯ + 5 3 k − 1 31 ⏟ = Z + 5 3 k + 5 3 k + 1 + 5 3 k + 2 31 5 3 k ( 1 + 5 + 5 2 ) 31 5 3 k = Z {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3k-1}+5^{3k}+5^{3k+1}+5^{3k+2}}{31}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {1^{0}+5^{1}+5^{2}+\cdots +5^{3k-1}}{31}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {5^{3k}+5^{3k+1}+5^{3k+2}}{31}}\\&{\frac {5^{3k}(1+5+5^{2})}{31}}\\&5^{3}k=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
