מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 70

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {1+3+3^{2}+\cdots +3^{3n-1}}{13}}=Z$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&3^{3n-1}=Z\\&3^{3*1-1}=3^{2}\\&\downarrow \\&{\frac {1+3+3^{2}}{13}}={\frac {1+3+9}{13}}={\frac {13}{13}}\\&{\frac {13}{13}}=Z\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1+3+3^{2}+\cdots +3^{3k-1}}{13}}=Z$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {1^{0}+3^{1}+3^{2}+\cdots +3^{3K-1}+{\color {red}3^{3k}+3^{3k+1}}+3^{3k+2}}{13}}=Z\\&\underbrace {\frac {1^{0}+3^{1}+3^{2}+\cdots +3^{3K-1}}{13}} _{=Z}+{\frac {3^{3k}+3^{3k+1}+3^{3k+2}}{13}}=Z\\&Z+{\frac {3^{3k}+3^{3k+1}+3^{3k+2}}{13}}=Z\\&Z=Z\surd &{\frac {3^{3k}+3^{3k+1}+3^{3k+2}}{13}}=Z\\&{\frac {3^{3k}(1+3^{1}+3^{2}}{13}}=Z\\&{\frac {3^{3k}(13)}{13}}=Z\\&\surd 3^{3k}=Z\\\end{aligned}}$

$3^{3k}$ שלם עבור K טבעי.
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.