מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 43

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {6^{n}+4}{20}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {6^{n}+4}{20}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6+4}{20}}=\mathbb {Z} \\&20=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {6^{k}+4}{20}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {6^{k+1}+4}{20}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6^{k}*6+4}{20}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6^{k}(1+5)+4}{20}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6^{k}+4}{20}}+{\frac {6^{k}*5}{20}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {6^{k}*5}{20}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {6^{k}}{4}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון כל מספר זוגי בחזקה שווה מספר זוגי וכן גם, מספר זוגי חלקי מספר זוגי שווה מספר שלם.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.