מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 27

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {3^{2n}-2^{n}}{7}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {3^{2n}-2^{n}}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3^{2}-2^{1}}{7}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {3^{2k}-2^{k}}{7}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {3^{2k+2}-2^{k+1}}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3^{2k}*3^{2}-2^{k}*2}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3^{2k}*(7+2)-2^{k}*2}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3^{2k}*2-2^{k}*2}{7}}+{\frac {3^{2k}*7}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2(3^{2k}-2^{k})}{7}}+3^{2k}=\mathbb {Z} \\&2*\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.