מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 25

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {8*7^{n}+4^{n+2}}{24}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {8*7^{n}+4^{n+2}}{24}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8*7+4^{1+2}}{24}}=\mathbb {Z} \\&5=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {8*7^{k}+4^{k+2}}{24}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {8*7^{k+1}k+4^{k+3}}{24}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8*7^{k}*7+4^{k+2}*4}{24}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8*7^{k}*(4+3)+4^{k+2}*4}{24}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8*7^{k}*4+4^{k+2}*4}{24}}+{\frac {8*7^{k}*3}{24}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {4(8*7^{k}+4^{k+2})}{24}}+{\frac {7^{k}*24}{24}}=\mathbb {Z} \\&4*\mathbb {Z} +7^{k}=\mathbb {Z} \\&4*\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.