Z {\displaystyle \mathbb {Z} } - מספר שלם.
10 n − 3 n 7 = Z {\displaystyle {\frac {10^{n}-3^{n}}{7}}=\mathbb {Z} }
10 n − 3 n 7 = Z 10 − 3 7 = Z 1 = Z √ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {10^{n}-3^{n}}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10-3}{7}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}}
10 k − 3 k 7 = Z {\displaystyle {\frac {10^{k}-3^{k}}{7}}=\mathbb {Z} }
10 k + 1 − 3 k + 1 7 = Z 10 k ∗ 10 − 3 k ∗ 3 7 = Z 10 k ∗ ( 7 + 3 ) − 3 k ∗ 3 7 = Z 10 k ∗ 3 − 3 k ∗ 3 7 + 10 k ∗ 7 7 = Z 3 ( 10 k − 3 k ) 7 + Z = Z 3 ∗ Z + Z = Z {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {10^{k+1}-3^{k+1}}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{k}*10-3^{k}*3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{k}*(7+3)-3^{k}*3}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {10^{k}*3-3^{k}*3}{7}}+{\frac {10^{k}*7}{7}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3(10^{k}-3^{k})}{7}}+\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\&3*\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
