מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 16

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {5*9^{n}+3}{8}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {5*9^{n}+3}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5*9+3}{8}}=\mathbb {Z} \\&6=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {5*9^{k}+3}{8}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {5*9^{k+1}+3}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5*9^{k}*9+3}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5*9^{k}*(8+1)+3}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {5*9^{k}*+3}{8}}+{\frac {9^{k}*8}{8}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +9^{k}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.